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2023年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数为( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 年月日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为( )
A. 年
B. 年
C. 年
D. 年
4. 小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于( )
A. B. C. D.
6. 为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩单位：个如下：
，，，，，，，，，．
根据这组数据判断下列结论中错误的是( )
A. 这组数据的众数是 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的方差是
7. 如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 一次函数与反比例函数为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，是的外接圆，半径为，连接，，，若，，则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
10. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两根据题意得( )
A. B.
C. D.
11. 如图，是等腰三角形，，以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，连接下列四个结论：；；；当时，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
14. 为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是______ 精确到参考数据：
15. 二次函数的最大值是______ ．
16. 在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量如图，在塔前处，测得该塔顶端的仰角为，后退到处有一平台，在高的平台上的处，测得的仰角为则该电视发射塔的高度为______ 精确到参考数据：，
17. 如图，在中，，点在上，点在上，点关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于点，点，若，，，则的长度为______ ．
18. 已知，，，，都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放点，，，都在轴正半轴上，且，则点的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
化简：；
解不等式组：．
20. 本小题分
年月日至月日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：级为特等奖，级为一等奖，级为二等奖，级为优秀奖并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
本次竞赛共有______ 名选手获奖，扇形统计图中扇形的圆心角度数是______ 度；
补全条形统计图；
若该党史馆有一个入口，三个出口请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
21. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
求反比例函数的表达式；
在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
22. 本小题分
为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用元；如果多购买个，则可以按批发价付款，同样需用元，若按批发价购买个与按零售价购买个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
23. 本小题分
如图，矩形中，对角线，相交于点，点是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接并延长交于点，交的延长线于点，且．
求证：四边形是平行四边形；
求证：．
24. 本小题分
如图，、是两个等腰直角三角形．
当时，求；
求证：∽；
求证：．
25. 本小题分
如图，二次函数的图象经过点，．
求二次函数的表达式；
若点在二次函数对称轴上，当面积为时，求坐标；
小明认为，在第三象限抛物线上有一点，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出的坐标；如果不正确，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数为．
故选：．
根据倒数的定义解答即可，倒数：乘积是的两数互为倒数．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，没法合并，故选项A不正确；
B、由完全平方公式得，故选项B不正确；
C、由积的乘方和幂的乘方得，，故选项C不正确；
D、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D正确．
故选：．
利用幂的运算，完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，容易选出选项
此题考查完全平方公式，幂的运算，单项式乘以单项式，较为基础．
3.【答案】
【解析】解：亿年年年，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】
【解析】解：、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据外角的性质求出，再根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和求出即可．
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质并灵活运用．
6.【答案】
【解析】解：这组数据中出现的次数最多，故众数为，故选项A不符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为和，故中位数，故选项B符合题意；
这组数据的平均数是：，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为：，故选项D不符合题意．
故选：．
分别根据众数、中位数、平均数以及方差的定义解答即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，
优弧所对的圆心角为，
，
，
故选：．
连接，利用圆周角定理及角的和差求得的度数，进而求得的度数．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，所以，则反比例应该经过第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，所以，则反比例应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，所以，则反比例应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，所以，则反比例应该经过第二、四象限，故本选项有可能；
故选：．
根据一次函数图象判定、的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是
故选：．
根据，和圆周角定理，得出圆心角的度数即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等，
；
两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等；两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，是的平分线，是线段的中垂线，
，，
，
是的平分线，
，
，
在中，，，
，
，
，
是的中垂线，
，
，
，
，
因此正确，
，
因此正确；
由于不是的中位线，
因此不正确；
，，
∽，
，
即，
设，则，
，
解得舍去或，
即，
因此正确，
综上所述，正确的结论有，共有个，
故选：．
根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到也是含有角的等腰三角形，进而得出，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出，对作出判断；在根据平行线的判定方法可得出，对作出判断；由，可得不是的中位线，对作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出∽，进而求出，即即可对作出判断．
本题考查角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和是以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
12.【答案】
【解析】 解：取中点，连接，．
在中，，，
，
、分别是、的中点，
，
在中，，，
，
在中，；当运动到上时，，
，
线段的最小值是，
故选：．
由点是中点，想到构造中位线，取中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14.【答案】
【解析】解：设光盘的圆心为，由题意可知：，切于、，
连接，，，
如图所示：
，分别为圆的切线，
为的平分线，，，又，
，
在中，，，
，
，
这张光盘的半径为．
故答案为：．
设光盘的圆心为，连接，，，经过圆外一点的两条直线与都与圆相切，根据切线长定理得到为两切线的夹角，由的度数求出的度数为，同时由切线的性质得到与垂直，在直角三角形中，由等于对边与邻边之比，将及的值代入，求出的长，即为圆的半径．
此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：．
，
当时，取得最大值，最大值．
故答案为：．
将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
该电视发射塔的高度为约为，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据题意可得：，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：与关于对称，
，
又，
∽，
，
即，
，
，
故答案为：．
根据轴对称可得，进而得出∽，根据相似三角形的性质可求出，进而求出．
本题考查相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
18.【答案】
【解析】解：如图，是边长为正三角形，
，，
点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，
因此点横坐标为，
，而是偶数，
点在第一象限，
点的纵坐标为，
即点，
故答案为：
根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，因此点横坐标为，再根据这些正三角形的排列规律得出点在第一象限，求出点的纵坐标为，得出答案．
本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
19.【答案】解：原式
；
，
解得：；
解得：，
故不等式组的解集为：．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；
分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
此题主要考查了分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：本次竞赛获奖选手共有名，
则等级人数为名，
等级人数为名，
扇形统计图中扇形的圆心角度数是，
故答案为：、；
补全图形如下：
将三个出口分别记作、、，列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有种结果，
所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为．
由等级人数及其圆心角度数所占比例求出总人数，总人数乘以等级人数求得其人数，根据各等级人数之和等于总人数求出等级人数，最后用乘以等级人数所占比例可得答案；
根据以上所求结果即可补全图形；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
21.【答案】解：一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，
点，点，
点，即，
，
，，
≌，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
方程组的解为，，
点，
点，
当时，的取值范围为或；
由于直线，可设直线的关系式为，
把点代入得，，
解得，
直线的关系式为，
当时，，
点的坐标为．
【解析】根据一次函数的关系式可求出与轴，轴的交点、点的坐标，再利用全等三角形的判断和性质得出，进而确定点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征确定的值即可；
求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象直观得出答案；
求出直线的关系式，再根据关系式求出其与轴的交点坐标即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提，确定点的坐标是解决问题的关键．
22.【答案】解：设这个学校九年级学生有人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校九年级学生有人．
【解析】设这个学校九年级学生有人，利用单价总价速度，结合按批发价购买个与按零售价购买个所付款相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：沿直线折叠，点落在点处，
≌，
，，
，
在和中：
，
≌，
，
在矩形中，对角线互相平分，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
在和中：
，
≌，
．
【解析】要证四边形是平行四边形，因为，只要证，进而证明即可，需证明≌；
只要证明≌即可．
此题以矩形为载体，考查了平行四边形的判断，三角形全等的知识，比较综合．
24.【答案】解：、是两个等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
证明：由得：，
，
，
，
，
∽；
证明：如图，
作，交的延长线于点，
∽，
，，，
，
设，
由知：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】可推出，，进一步得出结果；
可推出，，从而得出结论；
作，交的延长线于点，可推出∽，从而，，，
从而得出，设，可推出，从而，，从而得出，从而，从而推出，从而得出．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是推出是的垂直平分线．
25.【答案】解：由题意得：，
设抛物线的解析式为：，
，
，
；
如图，
过点作，交轴于点，作于，
，，
∽，
，
，
，，，
，，直线的解析式为：，抛物线的对称轴为：，
，
由得，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
当是，，
；
如图，
存在，使，理由如下：
作于，设与轴交于点，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
由得，
舍去，，

【解析】设抛物线的解析式为：，代入点，进一步得出结果；
过点作，交轴于点，作于，可得∽，从而，变形得出，由得，，从而，从而求得，从而得出点坐标，进而求得的解析式，进一步得出结果；
作于，设与轴交于点，可推出，解斜三角形，求得和，根据，得出，从而求得，进而求得的解析式，将其和抛物线的解析式联立，从而求的点坐标．
本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
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