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2022-2023学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
2. 在等比数列中，，，则数列的公比为( )
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4. 如图是某地区年月至年月每月最低气温与最高气温的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论正确的是( )
A. 月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在月
B. 每月最高气温与最低气温的平均值在月逐月增加
C. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关
D. 月的月温差相对于月，波动性更小
5. 设是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，，平面平面，为等边三角形，则四棱锥的外接球体积为( )
A. B. C. D.
7. 如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，给，，，这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域即图中有公共点的区域不同色，已知有种不同的颜色可供选择则不同的涂色方法种数是( )
A. B. C. D.
8. 已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于，两点，过，分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 早在年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为其中，为参数若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，下列关于正态密度函数及图象的特点的说法中，正确的有( )
A. 曲线是单峰的，它关于直线对称
B. 曲线在处达到峰值
C. 当较小时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量的分布分散；当较大时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量的分布集中
D. 当无限增大时，曲线无限接近轴
10. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与所成的角可能是
C. 点存在一个位置，使得三棱锥的体积为
D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
11. 椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
C. 椭圆上存在点，使得的面积为
D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为
12. 中华人民共和国第十九届亚运会将于年月在杭州举办为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从名男志愿者，名女志愿者中随机抽取人聘为志愿者队的队长下列说法正确的是( )
A. 设事件：“抽取的人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的人中全是男志愿者”，则
B. 设事件：“抽取的人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
C. 用表示抽取的人中女志愿者的人数，则
D. 用表示抽取的人中男志愿者的人数，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在数列中，对任意，总有，且，则 ______ ．
14. 的展开式中，的系数为__________．
15. 学校有，两家餐厅，刘同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为刘同学第天去餐厅用餐的概率为______ ．
16. 已知直线与圆交于、两点，过、分别作的垂线与轴交于、两点，若，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列，，其前项的和为，且满足．
求数列的通项公式；
证明：．
18. 本小题分
如图，三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，、分别是、的中点，且．
证明：平面；
求二面角的正切值．
19. 本小题分
中心在原点的双曲线的焦点在轴上，且焦距为，请从下面个条件中选择个补全条件，并完成后面问题：该曲线经过点；
该曲线的渐近线与圆相切；
点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．
求双曲线的标准方程；
过定点能否作直线，使与此双曲线相交于，两点，且是弦的中点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
20. 本小题分
第届冬奥会于年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同．
求，的值，并估计这名候选者面试成绩的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和中位数中位数精确到；
已知抽取的名候选人中，男生人，且希望参加张家口赛区志愿服务的有人，女生不希望参加张家口赛区志愿服务的有人，补全下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别是否有关？
男生 女生 总计
希望去张家口赛区
不希望去张家口赛区
总计
参考数据及公式：，．
21. 本小题分
某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率．
若每个元件正常工作的概率．
当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和均值；
计算．
已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元请用表示出设备升级后单位时间内的利润单位：元，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加个相同的元件，请分析一下能否提高利润．
22. 本小题分
设为实数，函数，．
求的单调区间与极值点；
求证：当且时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，与共线，
所以，解得，，则．
故选：．
利用空间向量共线的坐标表示求得，，由此得解．
本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，则．
故选：．
利用等比数列的通项公式列出关于的式子，从而得解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，又，
所以在点处的切线方程为，即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到，再求出，由此得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于选项，年各月温差单位：如下表所示：
月份
温差
年各月温差单位：如下表所示：
月份
温差
因此，月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在月，错；
对于选项，每月最高气温与最低气温的平均值在月分别为、、、、，逐月增加，对；
对于选项，因为，每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关，错；
对于选项，由中表格中的数据可知，月的月温差相对于月，波动性更大，错．
故选：．
计算各月的温差，可判断选项；计算出月每月最高气温与最低气温的平均值，可判断选项；根据线性相关系数可判断选项；计算出月、月各月的月温差，可判断选项．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据离散型随机变量的概率分布列的性质可得：
，
解得，
故选：．
根据离散型随机变量的概率分布列的性质，建立方程组，解方程组，即可得解．
本题考查离散型随机变量的概率分布列的性质，方程思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：记的中点为，连接，，连接，
设所在圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，，如图，
因为为等边三角形，，所以圆的半径，
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为底面是矩形，所以是底面外接圆的圆心，
故平面，所以，
同理，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以球的半径，
所以外接球的体积为．
故选：．
先分别求得的外接球半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解．
本题考查了四棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，所有的涂色方案分类，
第类：用三种颜色为：一种颜色，同色，同色，
则涂色方法为种，
第类：用到四种颜色为：一种颜色，不同色，同色或为一种颜色，同色，不同色，
则涂色方法为种，
第类：用到五种颜色，此时涂色方法为种，
则有种涂色方法．
故选：．
根据题意，按选出颜色的数目分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，得，
方程的判别式，
设点、，
由韦达定理可得，，
由已知和抛物线定义知，
所以，得，即，
故，解得．
故选：．
设的方程为，联立直线与抛物线方程，设点、，由条件关系结合设而不求法列方程求的值．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当时，单调递增，则单调递增，
当时，单调递减，则单调递减，
又，所以，
故曲线是单峰的，它关于直线对称，故A正确；
对于，由选项B可知，当越小时，峰值越大，则曲线越“瘦高”，故C错误．
对于，因为，有，因此，
当且仅当时，等号成立，即曲线在处达到峰值，故B正确；
对于，因为正态曲线与轴之间的区域的面积总为，且恒成立，
所以结合曲线的单调性可知，当无限增大时，曲线无限接近轴，故D正确．
故答案为：．
根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出．
本题考查正态分布的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为在正方体中，面，
又面与面是同一个面，面，
所以平面平面，故A正确；
对于，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，设，
则，
则，
令，
则，
所以在区间上单调递减，
由于，
所以，即直线与所成的角满足，
又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故B错误；
对于，因为，易知到平面的距离，
所以三棱锥的体积为，故C正确；
对于，为线段上的动点不含端点，连接并延长，
若的延长线交于，如图，此时截面为四边形，
若的延长线交于，设交点为，此时截面为，
设，，则，
故，则不为直角三角形，故D错误．
故选：．
对于，利用面面垂直的判定定理即可判断；对于，建立空间直角坐标系，用向量法求出异面直线所成的角，结合导数求得其范围即可判断；对于利用换底法得出所求体积即可判断；对于，利用观测法与勾股定理判断即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可得，，所以，
所以离心率，所以不正确；
由椭圆的性质可得：的周长为，所以B正确；
因为，所以椭圆上不存在点，使得的面积为，所以不正确；
因为圆心到椭圆上的点的最大距离为，所以的最大值为，所以D正确．
故选：．
由题意的方程可得，的值，进而求出的值，可得椭圆的离心率的大小，判断的真假；由题意可知的周长为，判断出的真假；求出的面积的最大值，判断出的真假；由题意的最大值，判断出的真假．
本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，从名男志愿者，名女志愿者中随机抽取人聘为志愿者队的队长的基本事件有件，
其中事件：“抽取的人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故，
事件表示“抽取的人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故，
所以，故A正确；
对于，事件：“抽取的人中既有男志愿者，也有女志愿者”包含的基本事件有件，
所以，故B错误；
对于，可得的可能取值为，，，，
则，
所以，故C正确；
对于，可得的可能取值为，，，，
则，
则，
，
则，故D正确．
故选：．
对于，利用古典概型与组合的应用求得事件与事件的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于，依题意分别求得，的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断．
本题考查了古典概型、条件概率和离散型随机变量的期望与方差计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，可令，
则，
即，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
．
故答案为：．
根据题意令，可将题干中递推公式转化为，即可得到数列是以为首项，为公差的等差数列，计算出数列的通项公式，即可计算出的值．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，考查了转化与化归思想，代入特殊值法，等差数列的定义及通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】
解：的展开式中，通项公式，
令，解得．
，
的系数为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，表示“第天去餐厅用餐”，表示“第天去餐厅用餐”，表示“第天去餐厅用餐”，
由题意，，，
由全概率公式得王同学第天去餐厅用餐的概率为：
；
故答案为：．
根据题意，表示“第天去餐厅用餐”，表示“第天去餐厅用餐”，表示“第天去餐厅用餐”，分析可得，由此计算可得答案．
本题考查相互独立事件的概率计算，涉及条件概率的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，难度一般．
先根据弦长求出，可得直线的倾斜角为，再利用锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：由题意，，圆心到直线的距离，
，
，
直线的倾斜角为，
过、分别作的垂线与轴交于、两点，
．
故答案为：．

17.【答案】解：当时，，
又因为，
所以，
即，则，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
从而当时，，
显然，不符合上式，
故数列的通项公式为；
由得，
当时，，
所以
，
故不等式成立．
【解析】利用推得是等差数列，从而求得，由此得解．
利用放缩法与裂项法即可得证．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了放缩法在不等式证明中的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：连接交于点，连接、，
在三棱柱中，且，
故四边形为平行四边形，
因为，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
因为平面，平面，
因此，平面．
解：因为三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，
则，
又因为，
所以，则，
因为，，，、平面，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，
则点、、、，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
所以，，则，
故，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为．
【解析】连接交于点，连接、，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
证明出，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正切值．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：设双曲线的标准方程为，
选，由题意可知，双曲线的两个焦点分别为，，，
由双曲线的定义可得，
故，
则，
所以双曲线的标准方程为．
选，因为圆的方程为，圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，
解得，即，
因为，
则，
因此双曲线的标准方程为．
选，因为以，为直径的圆经过点，
所以，
由勾股定理可得，
则，
所以，
从而，
则，
故，
所以双曲线的标准方程为．
假设满足条件的直线存在，设点，，，
则，由题意可得，
两式作差并化简得，
所以直线的斜率为，
从而直线的方程为，即，
联立，整理可得，
易得，，
因此直线不存在．
【解析】选，利用双曲线的定义求得，从而得解；选，利用点线距离公式与线圆相切的性质求得，从而得解；选，利用勾股定理，结合三角形面积相等求得，从而得解．
假设直线存在，利用点差法求得直线的方程，再联立双曲线方程，利用判别式判断即可得解．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，，
解得，，
所以平均值为，
因为的频率为，的频率为，
所以中位数落在，故中位数为．
补全列联表：
男生 女生 总计
希望去张家口赛区
不希望去张家口赛区
总计
零假设：参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
【解析】利用频率分布直方图，结合等差中项的性质求得，，从而可得平均值与中位数，由此得解；
根据题意补全列联表，再利用卡方公式求得，结合参考表格即可得解．
本题主要考查独立性检验的应用，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，，
，，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为：
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
．
升级改造后单位时间内产量的分布列为：
产量
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以：
产品类型 高端产品 一般产品
产量单位：件
利润单位：元
设备升级后单位时间内的利润为，即．
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加个元件，则：
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即，
所以当时，，当时，，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【解析】由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，分类讨论求出与的关系，作差比较大小即可得出结论．
本题考查了二项分布的理解和应用，互斥事件的概率公式的应用，随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．
22.【答案】解：解：，，
，，令，得，
当变化时，和的变化情况如下表：
单调递减 单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是，
处取得极小值，是函数的极小值点，无极大值点．
证明：设，，
于是，，
由知，对任意，都有，
所以在内单调递增，
于是，当时，对任意，
都有，而，
从而对任意，都有，
即，故．
【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．
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