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第5章 相交线与平行线
5.2.2平行线的判定
一、温故知新（导）
根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.
但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法呢？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判断两条直线是否平行；
2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.
学习重难点
重点：理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进行简单的推理应用.
难点：平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.
二、自我挑战（思）
1、我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线，在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？
结论：平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
几何语言：
∵∠1=∠2(已知)
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
简单说成：同位角相等，两直线 .
想一想：你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
2、能否利用内错角，同旁内角来判定两条直线平行呢？
（1）如图，如果∠2=∠3，能得出a//b吗？
分析∵∠2=∠3(已知)
∠3=∠1(对顶角相等)
∴ ∠1= ∠2( )
∴ a//b( )
结论：平行线的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线 .
（2）如图，如果∠2+∠4=180°,能得出a//b吗？
分析∵∠2+∠4=180o (已知)
∠1+∠4=180o ( )
∴ ∠1=∠2 (等量代换)
∴ a//b( )
结论：平行线的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成： 互补，两直线平行.
3、总结：两直线平行的判定方法：
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
三、互动质疑（议、展）
1、到目前为止，我们学习了哪些判定两条直线平行的方法？
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行；
（5）同旁内角互补，两直线平行.
2、实例：
例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，直线a,b被直线c所截，则能使直线a∥b的条件是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠2+∠3=180° D．∠1+∠2=180°
2、如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（　　）
A．AB∥CD B．AD∥BC
C．∠A=∠C D．AB=CD
3、如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
4、如图，若使得AB∥DC，则可以添加的一个条件是 ．
5、把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则AB∥CD，理由是 ．
6、如图，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB∥CD．
证明：∵AC平分∠DAB（ ），
∴∠1=∠ （ ），
又∵∠1=∠2（ ），
∴∠2=∠ （ ），
∴AB∥ （ ）．
六、用
（一）必做题
1、如图，请你从下面选项中选出能证明AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠4 B．∠2=∠3
C．∠3=∠4 D．∠1=∠2
2、如图，下列说法中，正确的是（　　）
A．若∠3=∠8，则AB∥CD
B．若∠1=∠5，则AB∥CD
C．若∠DAB+∠ABC=180°，则AB∥CD
D．若∠2=∠6，则AB∥CD
3、如图，在下列选项中，不能判断DE∥BC的是（　　）
A．∠1=∠B B．∠2=∠3
C．∠C+∠5+∠6=180° D．∠4=∠5
4、如图所示，一副三角板摆放在桌面上，其中边BC，DF在同一条直线B上，则AC∥DE，依据是 ．
5、如图表示钉在一起的木条a,b,c.若测得∠1=50°，∠2=75°，要使木条a∥b,木条a至少要旋转 °．
6、已知：如图，∠B=80°，∠C=50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
（二）选做题
7、如图，已知直线b平分∠APB，若∠1=140°，∠2=40°．
求证：a∥b.
8、完成下面的证明．
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°（ ）
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC=∠ABC，
∠BCF= （ ），
又∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠BCF（ ），
∴BE∥CF（ ）．
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第5章 相交线与平行线
5.2.2平行线的判定
一、温故知新（导）
根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.
但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法呢？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判断两条直线是否平行；
2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.
学习重难点
重点：理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进行简单的推理应用.
难点：平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.
二、自我挑战（思）
1、我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线，在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？
使∠1=∠2
结论：平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
几何语言：
∵∠1=∠2(已知)
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
简单说成：同位角相等，两直线 平行 .
想一想：你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
同位角相等，两直线平行.
2、能否利用内错角，同旁内角来判定两条直线平行呢？
（1）如图，如果∠2=∠3，能得出a//b吗？
分析∵∠2=∠3(已知)
∠3=∠1(对顶角相等)
∴ ∠1= ∠2( 等量代换 )
∴ a//b( 同位角相等，两直线平行 )
结论：平行线的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线 平行 .
（2）如图，如果∠2+∠4=180°,能得出a//b吗？
分析∵∠2+∠4=180o (已知)
∠1+∠4=180o ( 邻补角的定义 )
∴ ∠1=∠2 (等量代换)
∴ a//b( 同位角相等，两直线平行 )
结论：平行线的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成： 同旁内角 互补，两直线平行.
3、总结：两直线平行的判定方法：
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
三、互动质疑（议、展）
1、到目前为止，我们学习了哪些判定两条直线平行的方法？
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行；
（5）同旁内角互补，两直线平行.
2、实例：
例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
答：这两条直线平行，理由如下：
法1：
∵ b⊥a，
∴∠1=90°
同理∠2=90°
∴∠1=∠2
∵∠1和∠2是同位角，
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)
法2 ：
证明∵ b⊥a，
∴∠1=90°
又c⊥a
∴∠390°
∴∠1＋∠3=180°
∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，直线a,b被直线c所截，则能使直线a∥b的条件是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠2+∠3=180° D．∠1+∠2=180°
1、解：如图，
A、∠1与∠2是邻补角，不能判断a∥b,故A不符合题意；
B、∠2与∠3不属于同位角，也不属于内错角，∠2=∠3不能判断a∥b,故B不符合题意；
C、当∠2+∠3=180°，可得∠4+∠5=180°，得a∥b,故C符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，∠1与∠2是邻补角，不能判断a∥b,故D不符合题意；
故选：C．
2、如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（　　）
A．AB∥CD B．AD∥BC
C．∠A=∠C D．AB=CD
2、解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故选：A．
3、如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
3、解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
B．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD．
故选：A．
4、如图，若使得AB∥DC，则可以添加的一个条件是 ．
4、解：若使得AB∥DC，由内错角相等，两直线平行，可以添加的一个条件是∠2=∠4（答案不唯一）
故答案为：∠2=∠4（答案不唯一）．
5、把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则AB∥CD，理由是 ．
5、解：∵∠BAD=∠ADC=30°，
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
6、如图，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB∥CD．
证明：∵AC平分∠DAB（ ），
∴∠1=∠ （ ），
又∵∠1=∠2（ ），
∴∠2=∠ （ ），
∴AB∥ （ ）．
6、证明：∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠1=∠3（角平分线定义），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠3（等量替换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；3；平行线的定义；已知；3；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行．
六、用
（一）必做题
1、如图，请你从下面选项中选出能证明AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠4 B．∠2=∠3
C．∠3=∠4 D．∠1=∠2
1、解：A、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故本选项符合题意；
B、∠2与∠3是一对同旁内角，由∠2=∠3不能证明AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∵∠3=∠4，∴CE∥BD，不能证明AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、∠1与∠2是一对同旁内角，由∠1=∠2不能证明AB∥CD，故本选项不符合题意；
故选：A．
2、如图，下列说法中，正确的是（　　）
A．若∠3=∠8，则AB∥CD
B．若∠1=∠5，则AB∥CD
C．若∠DAB+∠ABC=180°，则AB∥CD
D．若∠2=∠6，则AB∥CD
2、解：A．由∠3=∠8，不能得到AB∥CD，故本选项错误；
B．若∠1=∠5，则AD∥CB，故本选项错误；
C．若∠DAB+∠ABC=180°，则AD∥CB，故本选项错误；
D．若∠2=∠6，则AB∥CD，故本选项正确；
故选：D．
3、如图，在下列选项中，不能判断DE∥BC的是（　　）
A．∠1=∠B B．∠2=∠3
C．∠C+∠5+∠6=180° D．∠4=∠5
3、解：A、∵∠1=∠B，
∴DE∥BC，故此选项不符合题意；
B、∵∠2=∠3，
∴DE∥BC，故此选项不符合题意；
C、∵∠C+∠5+∠6=180°，
∴DE∥BC，故此选项不符合题意；
D、∵∠4=∠5，
∴DF∥EC，故此选项符合题意；
故选：D．
4、如图所示，一副三角板摆放在桌面上，其中边BC，DF在同一条直线B上，则AC∥DE，依据是 ．
4、解：∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，
∴∠ACB=∠EDF，
由内错角相等，两直线平行，推出AC∥DE，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
5、如图表示钉在一起的木条a,b,c.若测得∠1=50°，∠2=75°，要使木条a∥b,木条a至少要旋转 °．
5、解：如图，
∵∠AOC=∠1=50°时，AB∥b,
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°-50°=25°．
故答案是：25．
6、已知：如图，∠B=80°，∠C=50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
6、证明：∵∠B=80°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠A-∠B=50°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC=∠CAF=50°，
∴∠C=∠CAF，
∴EF∥BC．
（二）选做题
7、如图，已知直线b平分∠APB，若∠1=140°，∠2=40°．
求证：a∥b.
7、证明：∵直线b平分∠APB，∠2=40°，
∴∠3=∠2=40°，
∵∠1=140°，
∴∠4=180°-∠1=180°-140°=40°，
∴∠3=∠4，
∴a∥b.
8、完成下面的证明．
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°（ ）
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC=∠ABC，
∠BCF= （ ），
又∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠BCF（ ），
∴BE∥CF（ ）．
8、解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直定义），
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC=∠ABC，
∠BCF=∠BCD（角平分线的定义），
又∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠BCF（等量代换 ），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行 ），
故答案为：垂直定义；
∠BCD；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行．
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