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2023年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学
2023.5
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为实数集，全集，集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
2.已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A.-1 B.4 C.2 D.-2
3.函数在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A.1 B. C.3 D.4
7.已知是边长为2的等边三角形，是边上的两个动点，若线段将分成面积相等的两部分，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.1
8.已知函数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一组互不相等的样本数据，其平均数为，方差为，极差为，中位数为，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（ ）
A. B.
C. D.
11.关于函数，下列选项正确的有（ ）
A.为偶函数
B.在区间上单调递增
C.的最小值为2
D.在区间上有两个零点
12.已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A.直线与椭圆相交
B.直线与圆相交
C.若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D.若两直线的斜率之积为，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则__________.
14.展开式中的系数是__________.
15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球的表面积为__________；若点是线段上的动点，则的最小值为__________.（第一空2分，第二空3分）
16.已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
18.（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为.
（1）若，求的面积；
（2）求的值.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
甲 乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3 乙胜的概率为0.2.
（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；
（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
（3）若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.
21.（本小题满分12分）
已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
22.（本小题满分12分）
已知函数为函数的导函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数，存在，证明：.对于D选项，由a1己8=-7a=,1=名，。
1
118a4÷1
7
17=8,得数列{a}是以3为周期的
周海数列，一个周期的和为正教，日8-合>0，？分>0，所以S,不存在最大值放选BC
11.【答案】ABD
解新打因为水-=sn(-十n=s如2十女=)，所以了)为偶函数，
1
故A正确；
当e(经x时，fa=sinx+品2eosx<0,0所以f(）=6osx-兰=cosx(1-z）>0,放f(x)在区间（登上单调递增，故B
sin'x
正确；
因为∫()=1-1=0<2，故C错误；
当xe0,受)时，fx）=sinx十dos>0,0则(x)=osx-0=osx1-0,
所以f(x)在区间(o,受)上单调递减.又f(x)在区间(x)上单调递增，
所以在区间(0，π)上f(x)≥f()=.又f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(-，)上无
零点.
同瑶，在X间(2,3r)上了a)=inx+也无受点。
在区间(x,2x)止f(x）-sinx+z则fx)-osz一2-cosz1+z)}
sin'x
当x∈(x,3)时，cosx<0,00,f(x)单调递增，
当xE(,2x)时，cos>0,0所以f(x)在区间(x,2x)上有一个零点.
同理，在区何(3x让fa)=一加z叶品也有-个零点，所以fc)在区间(-，)上有
两个零点，故D正确.故选ABD.
数学参考答案及评分标准第3页（共9页）
12.【答案】BCD
1
【佛折于A透项，当@3,6-时，点P坐标可为侵9》，直袋要+-1为
4
3
23y
2=1,即x+2V3y=8.由
管+苦
=1,
得字-8w5y+15=0,因为△=(85}-4×7×
x+2w3y=8,
15=一18<0，所以直线x+2√3y=8与椭圆C无交点，所以A错误；
对于B选项，因为a>b>1,所以a2十b>1.设原点到直线ax十by=1的距离为d,由点到直线
的距离公式，得4元1所以直线az+by1与圆2牛y=】相交，所以B正确
对于C选项，椭圆C的熊距为2，则2=2，即c=1.不妨设<0，如>0，则如=√后气'
0=V,所以加加=哥=号藏a=25-1.又a-护=1，舞得e=8,所
a2-I
以一后后停所以C正豫，
对于D选项，不设如>0，k≥0，则e心。=VB1,所以k如·如=Y伊
1
a2-1
名版e=w-s所以-1-要=1-w写13又61，厮以0<<导这
2
0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】号
折10-侣+：2局台
14.【答案】104
【解析】(z+是)112z)°的展亦式中含x的项为xC(2z)+是cC(2z)5=(4C2C)x
=104x3,所以x3的系数是104.
数学参考答案及评分标准第4页（共9页）

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