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13.3 等腰三角形
13.3.1　第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的定义,探索等腰三角形的性质和判定方法;能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.
2.在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系,感受数学与生活的联系;增强添加辅助线解决问题的能力..
学习策略
1.结合操作过程，理解等腰三角形的性质；
2.牢记等腰三角形的性质.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么叫等腰三角形
2.怎样的三角形是轴对称图形？
二.新课学习：
阅读课本本课时的内容，解决下列问题.
知识点一：等腰三角形的性质
1. 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开
在剪的过程中，因为边　　和　　是重合的，所以AB　　AC(填“>”“=”或“<”)，根据定义可知，△ABC是　　三角形.
【答案】AB；AC；=；等腰
2.观察折痕两侧的△ADC和△ADB，因为它们是完全重合的，所以△ADC　　△ADB.由此可得BD　　CD，∠BAD　　∠CAD，∠B　　∠C，AD　　BC.
【答案】≌；=；=；=；⊥
3.根据折叠的过程，完成以下证明过程：
如图，在△ABC中，AB=AC，作底边上的中线AD.
因为
所以△BAD≌　　(SSS)，
所以∠B=　　，∠ADB=　　=　　，∠BAD=　　.
【答案】△CAD；∠C；∠ADC；90°；∠CAD
4.由前面的操作可知，等腰三角形　　轴对称图形(填“是”或“不是”)，对称轴有　 　条，对称轴是　 　所在的直线.
所以：性质1：等腰三角形的两个　　相等，简称　 　；
符号语言：在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠　　.
性质2：等腰三角形的　 　、 、　 　相互重合，简称　 　.
【答案】是；1或3；顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高；底角；等边对等角；C；顶角平分线；底边上的中线；底边上的高；三线合一
三.尝试应用：
例1 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
(1)图中共有几个等腰三角形
(2)设∠A为x°,你能分别表示出图中其他各角吗
(3)你能求出△ABC各角的度数吗
解：（1）△ABC、 △ABD、 △BDC.
（2）设∠A＝x°．
因为BD＝AD，
所以∠A＝∠ABD＝x°，
∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
因为BD＝BC，
所以∠BDC＝∠BCD＝2x°，
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠BCD＝2x°，
（3）在△ABC中x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
所以∠ABC＝∠C＝72°．
例2如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，求∠C的度数．
解：AB＝AC，D为BC中点，
所以AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
因为∠BAD＝35°，
所以∠BAC＝2∠BAD＝70°，
所以∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
四.自主总结：
1.等腰三角形性质： ① “等边对等角”； ②“三线合一”.
2.会添加多种做辅助线方法进行证明或解题.
五.达标测试
一、选择题
1. 1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC．若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AD=BD B．BD=CD C．∠1=∠2 D．∠B=∠C
4.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ C ）
A．80°B．20°C．20°或80° D．50°或80°
5.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（　　）
A．44° B．66° C．88° D．92°
二、填空题
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=5，CD=3，则△ABC的周长是_________.
7.如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=______．
8.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠A=36°，则∠DBC=_____度．
三、解答题
9. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
10. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，点E在边AC上，且DE＝CE．
（Ⅰ）求证：DE∥BC；
（Ⅱ）若∠A＝50°，∠B＝60°，求∠BDC的大小．
参考答案
1. C
2.B 解析：因为AB=AC，所以∠B=∠C，因为AD∥BC，∠1=70°，所以∠C=∠1=70°，所以∠B=70°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°．
3.A 解析：因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD，∠1=∠2，∠B=∠C．故A错误，B，C，D正确．
4. C解行：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°；
②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°；
所以它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°；所以它的顶角的度数为：80°或20°．故选C．
5.D 解析：因为PA=PB，所以∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，所以△AMK≌△BKN，所以∠AMK=∠BKN，因为∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，所以∠A=∠MKN=44°，所以∠P=180°-∠A-∠B=92°．
6.16 解析：因为在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，又因为AD⊥BC于点D,所以BD=CD,因为AB=5，CD=3,所以△ABC的周长=5+3+3+5=16．
7.66° 解析：因为OA=AC，所以∠ACO=∠AOC=×（180°-∠A）=×（180°-48°）=66°．因为AC∥BD，所以∠D=∠C=66°．
8.36 解析：因为AB的垂直平分线MN交AC于D，所以AD=BD，因为∠A=36,所以∠ABD=∠A=36,因为AB=AC，所以∠ABC=∠C===72°，所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°．
9.解：因为∠BAD=26°，AB=AD，
所以∠B=∠ADB= （180°-26°）=77°.
因为AD=CD，所以∠C=∠DAC.
因为∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC，
所以∠C=∠ADB=38.5°.
10. 解：（Ⅰ）因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠DCB＝∠DCE．
因为DE＝CE，
所以∠CDE＝∠DCE．
所以∠DCB＝∠CDE．
所以DE//BC；
（Ⅱ）因为∠A＝50°，∠B＝60°．
所以∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．
所以．
所以∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝85°．

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