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2022-2023学年湖南省长沙市七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，直线，直线，被直线所截，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
3. 平面直角坐标系中，在第二象限的点是( )
A. B. C. D.
4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是( )
A. 环保部门调查湘江的水质情况
B. 调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度
C. 调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长
D. 调查神舟十六号飞船各零部件是否正常
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，下列推理不正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7. 如果方程组的解为，那么被“、”遮住的两个数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 若关于，的方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平面直角坐标系中，点与点间的距离是______ ．
12. 如果关于，的方程是二元一次方程，那么 ______ ．
13. 若，则的平方根是______ ．
14. 已知关于的不等式的解集如图所示，则的值等于______
15. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为 ．
16. 如图一，，，，则 ______ ．
如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为______
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解方程组：．
19. 本小题分
解下列不等式组：
；
；
20. 本小题分
如图，在边长均为个单位长度的正方形网格图中，建立了平面直角坐标系，的顶点都在格点上，按要求解答下列问题：
画出向右平移个单位长度后，再向下平移个单位长度后的图形
写出顶点的坐标；
求线段所扫过的面积．
21. 本小题分
为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图不完整．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
将条形统计图补充完整；
该校共有名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
22. 本小题分
完成下面的证明．
已知：如图，，
求证：．
证明：______ ，
已知，
．
______ 同旁内角互补，两直线平行．
______ 两直线平行，同位角相等．
已知，
______
______
______
23. 本小题分
如图，已知，于点，．
求证：；
连接，若，且，求的度数．
24. 本小题分
为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元．
求、两种品牌足球的单价各多少元？
根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠元，种品牌的足球单价打折如果此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
25. 本小题分
阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”例如：点，令得，，所以不是“郡麓点”；，令得，，所以是“郡麓点”．
请判断点，是否为“郡麓点”：______
若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数，的值．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式．
点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．
在运动过程中，当点到的距离为个单位长度时， ______ ．
在点的运动过程中，记的面积为，用含的代数式表示；
点在射线上，点为射线上一动点，，连接，作平分交轴于点，直线上取点，连接，使，当时，求的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、若，则，故该选项正确，不符合题意；
B、若，则，则，故该选项正确，不符合题意；
C、若，则，故该选项正确，不符合题意；
D、若，则，故该选项不正确，符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐项分析判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】
【解析】解：如图：
直线，
，
，
．
故选A．
先由两直线平行，内错角相等可得的度数，再由邻补角定义可得结果．
此题主要是考查了平行线性质能够熟练运用平行线的性质得出的度数是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：第二象限内的点横坐标小于，坐标轴大于，
是第二象限的点，其他的不是．
故选：．
根据第二象限内点坐标的特点判断出正确选项．
本题考查点坐标所在的象限，掌握各个象限内点坐标的特点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、环保部门调查湘江的水质情况查，适合抽样调查方式，不符合题意；
B、调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度，适合抽样调查方式，不符合题意；
C、调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长，适合抽样调查方式，不符合题意；
D、调查神舟十六号飞船各零部件是否正常，适合采用全面调查方式，符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
5.【答案】
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
没有平方根，
选项D不符合题意，
故选：．
运用平方根和立方根知识对各选项进行逐一求解、辨别．
此题考查了平方根和立方根应用的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
故B不正确，符合题意；
，
，
故C正确，不符合题意；
，
，
故D正确，不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：将代入得：，
解得：；
将代入得：，
．
被“、”遮住的两个数分别为，．
故选：．
将代入，可求出被“”遮住的数，再将代入，可求出被“”遮住的数．
本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：在的解中，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
故选：．
首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
9.【答案】
【解析】解：，
，得，
，
，
，
．
故选：．
用整体思想，得，等式两边都除以，得，再根据，从而计算出的值．
本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，，，，，
“凸”形的周长为，
的余数为，
则细线另一端所在位置的点的坐标是．
故选：．
先求出凸形的周长为，得到的余数为，由此即可解决问题．
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：
点、的纵坐标相同，
轴，
．
故答案为：．
在平面直角坐标系中标出点、，根据它们的位置关系求解．
本题考查坐标与图形的性质，比较简单，也比较直观．
12.【答案】
【解析】解：关于，的方程是二元一次方程，
，
解得．
故答案为：．
利用二元一次方程的定义解答即可．
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，．
，．
．
的平方根是．
故答案为：．
依据题意，由两个非负数的和为，可得这两个非负数均为，从而，，进而求出，的值，最后可以得解．
本题主要考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由数轴得，
，
，
，
，
故答案为：．
由数轴得，解不等式得，由此得到，求解即可．
本题考查了已知解集求不等式中的参数，解一元一次方程，正确理解数轴得到解集是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故答案是：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
故答案为：；
如图，过点作，过点作，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，分别平分和，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等解答即可；
根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角，，，对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系．
本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
，
方程组的解是．
【解析】得出方程，求出的值，把的值代入求出即可．
本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度不大．
19.【答案】解：，
，
，
，
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示，即为所求．
由图知，，；
线段所扫过的面积为．
【解析】将三个顶点分别向右平移个单位长度后，再向下平移个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
根据图形可得三个顶点坐标；
根据平行四边形的面积求解即可．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
21.【答案】解：本次被抽查学生的总人数是人，
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是；
“音乐舞蹈”的人数为人，
补全条形统计图如下：
估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为人．
【解析】从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为人，占调查人数的，可求出调查人数；用乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计图补充完整；
用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】对顶角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：对顶角相等，
已知，
．
同旁内角互补，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
已知，
等量代换．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，内错角相等．
故答案为：对顶角相等；；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】证明：已知，
垂直的定义，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行；
解：由可得，，
，
，
，
，
．
【解析】根据题意得到，根据平行线的性质推出，即可判定；
结合题意，根据平行线的性质定理求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元；
设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，
方案：购买个种品牌的足球，个种品牌的足球，总费用为元；
方案：购买个种品牌的足球，个种品牌的足球，总费用为元；
方案：购买个种品牌的足球，个种品牌的足球，总费用为元．
，
为了节约资金，学校应选择购买方案．
【解析】设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元，根据“购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共需元，种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球，根据“此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25.【答案】不是“郡麓点“，是“郡麓点”；
【解析】解：点，令，
解得，
，
不是“郡麓点“，
点，令，
解得，
，
是“郡麓点”；
故答案为：不是“郡麓点“，是“郡麓点”；
方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
的值为．
方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
，为正整数，
或或或．
根据“郡麓点”的定义分别判断即可；
先关于，的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案．
先关于，的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解的关键．
26.【答案】秒或秒
【解析】解：，满足关系式，
，，
，，
，，
当点到的距离为个单位长度时，即或，运动路程或，
秒或秒，
故答案为：秒或秒．
根据点的位置有三种情况：
Ⅰ当时，点在上，此时，；
Ⅱ当时，点在上，此时；
Ⅲ当时，点在上，此时，，
此时，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
设，，，
则，，
在中，，
，即，
Ⅰ当点在点左侧时，，如图，
，即，
，
在中，，
，即：，
联立得，
解得，
此时，
Ⅱ当点在线段上时，，如图，
，即，
，
在中，，
，即，
联立得，
解得，
此时，
Ⅲ当点在线段上侧时，，如图，
，即，
，，
在中，，
，即，
联立得，
解得，
此时，
综上所述，或或．
由非负数的性质得，，解得，，根据当点到的距离为个单位长度分两种情况求出运动时间即可；
分三种情形：当时，当时，当时，分别求解即可；
分三种情形分别画出三个图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的内角和定理，三元一次方程组的应用等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．
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