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人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一　空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
考点二　空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
考点三　共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
考点四　共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【题型归纳】
题型一：空间向量的有关概念
1．给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体中，必有；
③是向量的必要不充分条件；
④若空间向量满足，则．
其中正确的命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．0
2．给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
3．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若，则，的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
题型二：空间向量的线性运算（加减法）
4．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．- B．- C．- D．-
题型三：空间两个向量共线的有关问题
7．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）.
A．A B D B．A B C C．B C D D．A C D
8．已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（ ）
A．.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列命题中正确的是（ ）.
A．若与共线，与共线，则与共线.
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足，则
D．若，则存在唯一的实数，使
题型四：空间共面向量定理
10．已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
12．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【双基达标】
一、单选题
13．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：
①；②；
③；④.
其中运算的结果为向量的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．①若A B C D是空间任意四点，则有；
②是 共线的充要条件；
③若 共线，则与所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A B C，若（其中x y z∈R），则P A B C四点共面.
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈直线AB
B．P 直线AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
16．在正方体中，点满足（）若平面平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
19．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
20．下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，在平行六面体中，，，点在上，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
23．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
24．已知正方体中，，若，则（ ）
A．， B．，y=1
C．， D．，
25．如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则
A． B．
C． D．
26．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（ ）
A． B． C． D．
27．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
28．已知点P为三棱O-ABC的底面ABC所在平面内的一点，且，则的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
30．空间、、、四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为　　
A． B． C． D．
31．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且，是的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
33．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
34．已知正方体的中心为，则下列结论中正确的有（ ）
A．与是一对相反向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相反向量
D．与是一对相反向量
35．如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有
A． B．
C． D．
36．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
37．如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是___________.
38．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
39．在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________.
40．已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为_______．
41．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则=_______．
四、解答题
42．在空间四边形ABCD中，连结AC BD，的重心为G，化简.
43．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
44．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.
45．如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：
（1）四点共面，四点共面；
（2）；
（3）.
【答案详解】
1．B
【详解】
有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B．
2．B
【详解】
对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；
对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题只有⑤，
故选：.
3．D
【详解】
A中，对于非零向量，平行，则，所在的直线平行或重合；
B中，只能说明，的长度相等而方向不确定；
C中，向量作为矢量不能比较大小；
D中，由相等向量的定义知：方向必相同；
故选：D.
4．D
【详解】
因为点，分别是面对角线与的中点， ，，，
所以
故选:D.
5．A
【详解】
空间四边形各边及对角线长均为，
所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，
，
，所以
.
故选：A.
6．B
解：因为，所以,
为的中点，则，
.
故选：B.
7．A
【详解】
因为，所以，又有公共点，所以A B D三点共线，故选项A正确；
显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；
显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；
因为，所以不共线，从而、、三点不共线，故选项D错误.
故选：A.
8．B
【详解】
由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；
由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，所以“”是“直线相交”的必要条件，
综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件.
故选：B.
9．C
A中，若，则与不一定共线；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；
C中，∵，∴，∴与共线，故正确；
D中，若，，则不存在，使.
故选：C
10．B
【详解】
若，且，
则，则，
即，所以，点、、、共面.
对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；
对于B选项，，B选项中的点、、、共面；
对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；
对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.
故选：B.
11．C
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
12．A
【详解】
平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
13．D
【详解】
①：，故①正确；
②：，故②正确；
③：，故③正确；
④：，故④正确.
所以4个式子的运算结果都是，
故选：D.
14．C
【详解】
①中四点恰好围成一封闭图形，正确；
②中当 同向时，应有，故错误；
③中 所在直线可能重合，故错误；
④中需满足，才有P A B C四点共面，故错误.
故选：C
15．A
【详解】
因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)·＋n，
即＝n()，
即，所以与共线．
又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
故选：A
16．D
【详解】
如下图，由正方体性质知：面面，要使面面，
∴在面上，即共面，又，，
∴，可得.
故选：D
17．D
【详解】
由题意：
故选：D.
18．A
【详解】
在四面体中，，分别是，的中点，
故选：A．
19．C
【详解】
由向量的运算法则，可得.
故选：C.
20．C
【详解】
①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
故选：C
21．A
【详解】
.
故选：A
22．B
【详解】
因为，可得，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又由，，，
所以.
故选：B.
23．B
【详解】
因为，
所以，所以，所以 ，
解得，所以，
故选：B.
24．D
【详解】
由空间向量的运算法则，可得，
因为，所以.
故选：D.
25．A
【详解】
解：因为M在AC上，且，N在上，且，
所以，，
在平行六面体中，，，，
所以，，
所以
，
故选：A．
26．A
因为M，A，B，C共面，则，得.
故选：A
【点睛】
本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.
27．D
【详解】
如图，在正方体中，，
，
，
所以
,
所以，，
故选：D
28．C
【详解】
，且P，A，B，C共面，
，
只有符合，
故选：C.
29．A
【详解】
因为，如图，
依题意，有
．
故选： A
30．C
【详解】
因为空间、、、四点共面，但任意三点不共线，
则，
又点为该平面外一点，则
，
所以，
又，
由平面向量的基本定理得：，即，
故选：C．
31．A
如图，
由空间向量的线性运算可得：
，
，
故选：A
32．B
【详解】
由题，在空间四边形， ， ， ．
点在上，且， 是的中点，则 ．
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.
33．BD
【详解】
由已知得，，分析各个选项：
对于A，利用向量的四边形法则，，A错；
对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得
，B对；
对于C，因为点在线段上，且，所以，
，所以，
，C错；
对于D，，D对
故选：BD
34．ACD
∵为正方体的中心，∴，，故，
同理可得，
故，∴A、C正确；
∵，，
∴与是两个相等的向量，∴B不正确；
∵，，
∴，∴D正确.
故选：ACD
35．BCD
【详解】
A．，故错误；
B．，故正确；
C．，故正确；
D．，故正确.
故选：BCD.
36．BD
【详解】
当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
37．
由空间向量共面定理可得，若向量不共线，
则与共面的充要条件是存在实数对，使.
故答案为：存在实数对，使.
38．
【详解】
若与共线，
则
因为非零向量，不共线，
所以，即，所以，
故答案为：
39．
【详解】
如图，取BC的中点F，连结DF，则DF必经过点E，则，
∴.
故答案为：.
40．
由题设，，
∴，又共面，
∴，可得.
故答案为：
41．
【详解】
由题意 =
故答案为：
42．
【详解】
设E为BC的中点，则，又为的重心，则，所以
43．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
44．
设，
∵，，
∴，，而
∴，.
∴,又,
∴，即E，F，B三点共线.
45．
证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．
，∴E、F、G、H四点共面．
（2）.
（3）.
试卷第1页，总3页

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