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(共27张PPT)
专题二 函数
第三讲 函数与方程及函数的应用
考情分析
重点
1.了解函数的零点和方程的根的联系.
2.判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
3.了解指数函数，对数函数，幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升，
指数增长，对数增长等不同函数类型增长的含义.
考情分析
难点
1.函数零点所在的区间.
2.函数零点个数的判定.
3.已知函数模型的实际应用.
大单元，串思路
考点一：函数的零点与方程的根
明概念，夯基础
知识梳理
知识梳理
考点二：二分法求函数的零点
知识梳理
知识梳理
考点三：函数模型
知识梳理
知识梳理
知识梳理
考点四：函数的综合应用
知识梳理
典型例题
√
细探究，提能力
√
典型例题
√
典型例题
典型例题
√
典型例题
变式训练
√
√
变式训练
√
变式训练
√
变式训练
剖情景，创素养
谢谢观看
9
论%
定义：使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有零点合函数y=(x)的图象与x轴有公共点
函数的零点
函数零点存在定理：如果函数y=f)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(@)fb)<0,那么，
函数y=f)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在ce(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f)=0的解.
1.确定零点xo的初始区间[a,b,验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
函数的应用（二）
(1)若f(c)=0(此时o=c),则c就是函数的零点；
二分法求函数零点的近似值
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间：
(2)若fa)f(c)<0(此时xo∈(a,c),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时xo∈(c,b),则令a=c.
4.判断是否达到精确度e:若a-b函数模型的应用
建立函数模型专题二 函数
第三讲 函数与方程及函数的应用
【核心知识整合】
考点1：函数的零点与方程的根
1.函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数x叫作函数的零点.
（2）三个等价关系：方程有实数根函数的图像与x轴有交点函数有零点.
2.函数零点存在性定理
（1）条件：在区间上的图像是连续不间断的一条曲线；端点值满足
（2）结论：存在，使得.
考点2：二分法求函数的零点
1.二分法
（1）对于区间上连续不断的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.
（2）用二分法求函数的零点近似值的步骤
第一步：确定区间，验证，给定精确度，
第二步：求区间的中点c，
第三步：计算.
（i）若，则c就是函数的零点；
（ii）若，则令b=c(此时零点)；
（iii）若，则令（此时零点）
第四步，判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值a（或b）；否则，重复第二、三、四步.
考点3：函数模型
1.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
“对勾”函数模型
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数 性质
在上的增减性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图像的变化 随x值的增大图像与y轴接近于平行 随x值的增大图像与x轴接近于平行 随值变化而不同
联系 存在一个，当时，有
3.“对勾”函数的性质
函数.
（1）该函数在和上单调递增，在和上单调递减.
（2）当时，时取得最小值；当时，时取最大值-.
考点4：函数的综合应用
1.解函数应用题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义
[典型例题]
1.函数的零点所在的区间为( ).
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由题意知的定义域为，且在上单调递增，，，因为，所以，所以，所以在上存在唯一零点.故选B.
2.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差最大不超过( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 真实零点离近似值最远即为a或b，而，因此误差最大不超过.故选B.
3.随着智能手机的普及，抖音、快手、火山视频等短视频APP迅速窜红.针对这种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司2019年投入短视频制作的资金为5000万元人民币，在此基础上，若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频制作的资金开始超过6900万元人民币的年份是( ).(参考数据:，，)
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
[答案]：B
[解析] 当年份为n时，短视频制作的资金为(万元)，，，由，两边同时取对数并整理得，
解得，从而得，
所以资金投入开始超过6900万元的年份是2024年.故选B.
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（）
A.60 B.63 C.66 D.69
[答案]：C
[解析] ，整理可得，两边取自然对数得，解得，故选C.
[变式训练]
1.若偶函数在区间上是单调函数，且，则方程在区间内根的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[答案]：B
[解析] 由函数零点存在定理及函数的单调性可知，函数在区间上有且只有一个零点，设零点为，因为函数是偶函数，所以，故其在区间上也有唯一零点，即函数在区间上存在两个零点.故选B.
2.用二分法求函数在区间（2,4）上的唯一零点的近似值时，验证，取区间（2,4）的中点，计算得，则此时零点所在的区间是( )
A.（2,4） B.（2,3） C.（3,4） D.无法确定
[答案]：B
[解析] ,的零点在区间（2,4）上. ,,.故选B.
3.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满并摇匀，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第次时共倒出纯酒精，则的解析式是( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 因为倒第k次时共倒出纯酒精x L，所以第k次后容器中含纯酒精，
第次倒出的纯酒精是，
所以.故选A.
4.在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为( )
A.30小时 B.40小时 C.50小时 D.80小时
[答案]：A
[解析] 由题意可得解得，所以当时，.故选A.
【规律总结】
零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点.
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