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(共26张PPT)
专题三 导数
第二讲 导数的应用
考情分析
重点
1.了解函数单调性与导数的关系.
2.会用导数求函数的极大值，极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值，最小值.
考情分析
难点
1.判断函数的单调性.
2.求函数的极值.
3.利用导数求函数的最值.
大单元，串思路
考点一：导数与函数的单调性
明概念，夯基础
知识梳理
考点二：导数与函数的极（最）值
知识梳理
知识梳理
知识梳理
知识梳理
考点三：导数的综合应用
知识梳理
知识梳理
知识梳理
知识梳理
典型例题
√
细探究，提能力
√
典型例题
√
典型例题
变式训练
√
√
变式训练
变式训练
√
变式训练
变式训练
剖情景，创素养
谢谢观看
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论%
函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f'(o)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增：
在某个区间(a,b)上，如果f'(xo)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
判断函数=f(x)的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域：
函数的单调性
第2步，求出导数f'(c的零点：
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义城内的单调性
导数与函数图象的关系：
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就
比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”
极值的定义：
函数=f（)在点论=a的函数值f(a)比它在点=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0；而且在点=a附近的左侧f'()<0,右侧(x)>0.
类似地，函数y=f(x)在点花=b的函数值f()比它在点需=b附近其他点的函数值都大，f'(⑥)=0：而且在点花=b附近的左侧'(x)>0,右侧(x)<0.
a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值：b叫做函数y=f(x)的极大值点，fb)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值
导数在研究函数中的应用
求函数极值的步骤：
函数的极值
解方程f(x)=0,当f'(x0)=0时：
(1)如果在0附近的左侧(z)>0,右侧f'(z)<0,那么f八x0)是极大值
(2)如果在o附近的左侧∫'(x)<0,右侧f'()>0,那么f(x)是极小值.
最值的定义：
如果0是某个区间上函数y=f代x)的最大（小）值点，那么f(xo)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
求函数最值的步骤
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值：
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(@),f(⑥)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
函数的最大（小）值
画函数图象的步骤
(1)求出函数f(x)的定义城：
(2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点：
(3)用'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出'(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值：
(4)确定(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势：
(5)画出f()的大致图象，专题三 导数（精讲案）
第二讲 导数的应用
【核心知识整合】
考点1：导数与函数的单调性
1.函数单调性与导数的关系
设函数在内可导，是的导数，则在某个区间内，如果f′(x0)>0那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.
考点2 ：导数与函数的极（最）值
1.函数的极值
a.函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左正右负，则在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
求函数在内的导数；
求方程在内的根；
求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值；
比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
考点3：导数的综合应用
1.不等式恒成立（有解）问题的处理方法
（1）形如恒成立，主要方法如下：
法1：构造函数，使恒成立，即恒成立，求的最小值即可.
法2：参变量分离：或恒成立，即或，求的最大值或最小值即可.
（2）形如有解问题的求解方法：
法1：构造函数：，在时有解，即有解，即求的最大值即可.
法2：参变量分离：有解，即或，即求的最值问题.
2.证明形如的不等式恒成立的方法
法1：构造函数：，即恒成立，转化为求的最小值问题.
法2：若，则恒成立，证明的最小值大于或等于的最大值.
法3：中间变量法：且，则（为中间函数，且为一次函数较多）.
3.生活中的优化问题
（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，导数在这一类问题中有着重要的作用，它是求函数最大（小）值的有力工具.
（2）解决优化问题的基本思路：优化问题—用函数表示数学问题—用导数解决数学问题—优化问题的答案
[典型例题]
1.若函数是其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 由已知条件，得，即恒成立.设函数，则.由，得；由，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得.故选D.
2.若函数在区间上不单调，则在R上的极小值为( )
A. B. C.0 D.
[答案]：A
[解析] 由题意得，因为在区间上不单调，所以，由，得或；由，得，所以的极小值为.故选A.
3.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，所以实数a的取值范围是.故选A.
[变式训练]
1.若函数在区间上不单调，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.不存在这样的实数k
[答案]：B
[解析] 由题意得，在区间上至少有一个实数根，
又的根为，且在或两侧异号，
而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，
或，
或，故A，C，D错误.故选B.
2.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 易知函数的导数，令，得，即（，），设（，），则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数（，）的图象有一个交点，作出的图象如图所示，由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.故选A.
3.已知函数(e为自然对数的底数)，若在区间上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 因为，记，则.
当时，，所以函数在上单调递减.
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，有极大值也是最大值，.
若在上有两解，应有，，
所以，此时，所以在上有两解成立，故选C.
【规律总结】
1.导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，导数的应用主要考查函数的单调性，极值与最值，利用导数研究函数零点，不等式的证明及不等式恒成立或有解时参数的取值范围.
2.通过导数研究函数的单调性，极值、最值问题，考查分类讨论思想，等价转化思想等.
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