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专项复习测试：圆
知识点归纳：
1、圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
3、弧、弦、圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等
4、圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外d＞r ；
点P在圆上d=r ；
点P在圆内d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
6、直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：
直线l和⊙O相交d＜r ；
直线l和⊙O相切d=r ；
直线l和⊙O相离d＞r 。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
7、正多边形和圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
8、弧长和扇形面积
n°的圆心角所对的弧长l为：。
圆心角为n°的扇形面积S为：；
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为 ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．
圆锥与侧面展开图的等量关系：，
分类练习：
一、单选题(共8题；共40分)
1．用反证法证明“若 < 2，则 < 4”时，应假设（　　）
A． ≥2 B． ＞2 C． ≥4 D． ＞4
2．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
3．我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（　　）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．如图，在中，直径于点H．若，，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H．若AB=8cm，l要与⊙O相切，则l应沿OC所在直线向下平移（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（　　）
A．98° B．103° C．108° D．113°
7．如图，四边形 内接于 ， 与 相切于点B，连接 ， ， ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
8．如图，是的外接圆，AC是直径，延长BA至点D，AE平分交于点E.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共5题；共15分)
9．如图，已知正六边形内接于半径为2的，点，分别是，的中点，连结，，，，，，则图中阴影部分的面积为　 　.
10．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为　 　，对角线总数是　 　条。
11．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为　 　cm.
12．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则　 　°．
13．在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 　 　．（结果保留π）
三、综合题(共6题；共45分)
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，且AG=CG，设AG，DC的延长线交于点F.
（1）求证：；
（2）求证：.
15．如图，为的直径，切于E，于C，交于D．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
16．如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
（1）求证：；
（2）当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
17．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．
18．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求的值．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
( 1 )画出△ABC关于原点对称的；
( 2 )将绕点C′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，并直接写出此过程中点A′运动的路径长度．（结果保留π）
参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．D
5．B
6．C
7．A
8．B
9．
10．12；54
11．8
12．66
13．
14．（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴，
∴；
（2）证明：连接，，
∵，，
∴，
∵，，
∴（ASA）.
15．（1）证明：连接，
∴，
∴．
∵切于E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴，
∴，
解得，
∴的半径为2．
16．（1）解：四边形 是矩形，且点 是边 的中点，
在 和 中，
，
∴
；
（2）证明：如图，连接 ，并延长 交 于点 ，
四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴点 、 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
，
是以点 为中心的正六边形的一边，
由正六边形性质可得∶ ，
∵ ，
是等边三角形，
又
，
，
．
17．（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵A，D，C，B四点共圆，
∴∠EAD=∠DCB，
由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC；
（2）解：如图，连接OB、OC、OD，
由圆周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴△COB为等边三角形，
∴OC=BC=4，
∵DC=DB，∠CDB=30°，
∴∠DCB=75°，
∴∠DCO=15°，
∴∠COD=150°，
则劣弧的长=．
18．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：连接并延长交于N，过O作于M，则，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵与相切于点，
∴，则，，
∴，
设，，则，，
∵，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
连接，则，
在中， 根据勾股定理得，
则，
解得或（舍去），
∴，
∴．
19．解：⑴如图所示，即为所求
⑵如图所示，即为所求
点A′运动的路径长为

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