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第1讲 三角形（一）：与三角形有关的线段
【教学目标】：
了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；
掌握三角形内角和和外角性质，能够运用外角性质求角。
【教学重难点】：
三角形边有关的运用。
外角性质的运用。
【考点解析】
考点一 三角形的边
定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
表达式：△ABC中，设a＞b＞c，则b-c＜a＜b+c，a-c＜b＜a+c，a-b＜c＜a+b.
应用
已知三角形两边长为a、b，求第三边的范围：|a-b|＜＜a+b。
已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的范围：2a＜L＜2(a+b)。
证明线段之间的不等关系。
已知△ABC中，=6，=14，则c边的范围是__________。
如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（ ）
A 6在△ABC中，AB=11，AC=2，并且BC的长为奇数，那么△ABC的周长为多少？
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。
如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
针对练习1
三角形的三边长分别为5，1+2，8，则的取值范围是________.
在△ABC中，AB=9，BC=2．并且AC为奇数，那么△ABC的周长为_______。
已知等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为12cm，则其周长为________。
已知一个三角形的两边分别是8和6，则它的周长范围是__________。
已知等腰三角形的底边长为10，周长不大于40，求腰长的取值范围为________。
用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为_________。
小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为m，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍多2m。
请用含的式子表示第三条边长；
第一条边长可以为7m吗？请说明理由。
考点二 三角形的高、中线、角平分线
三角形的 重要线段 定义 图形 表示法
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 1.AE是△ABC的BC上的中线. 2.BE=EC=BC.
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC.
题型1 三角形的高
如图⑾，△ABC中，BC边上的高是_______；△ADC中，DC边上的高是______；
△BCF中，FC边上的高是_______.
如图，在△ABC中，AD、CE是边BC、AB上的高，若∠B=70°，∠CAD=30°，
则∠BCE= ，∠ECA= ．
Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝3cm，则AB边上的高长为 。
如图，AD，BE分别是△ABC的高，AD=4cm，BC=6cm，AC=5cm，则BE的长为__________。
针对练习2
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求（1）△ABC的面积；（2）CD的长。
在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数.
题型2 三角形的中线、角平分线
如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．
如图，点D、E分别是BC，AC的中点，若=2，则=________，=_______。
如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是________。
针对练习3
如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是cm．则AE+CD+BF=______cm．
如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线。若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=________cm。
已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。
在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长.
【综合练习】
若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．5cm，6cm，10cm B．1cm，1cm，3cm
C．2cm，3cm，5cm D．3cm，4cm，9cm
已知某三角形三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为30cm和32cm的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？（ ）
A．长为30cm的木条 B．长为32cm的木条
C．两根都可以 D．两根都不行
如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
已知a，b，c是三角形的三条边，则|c﹣a﹣b|+|c+b﹣a|的化简结果为（ ）
A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b﹣2c
下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝10m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．4m B．15m C．20m D．22m
如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线m∥n；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
如图，点B，C，D在一条直线上，CD＝2BC，三角形ABC的面积为12，则三角形ACD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
如图，△ABC的面积为20，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
如图，△ABC的面积为30，BD＝2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，E是AB的中点，若△ABC的面积是10cm2，BD：CD＝4：1，则△BED的面积为（ ）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，
∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝　 　．
如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，求△ABD的周长．
23．如图，在锐角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形有① ；以AE为角平分线的三角形有② ；以AF为高的钝角三角形有③ ．
（2）若∠BAC＝88°，∠B＝35°，求∠CAF的度数．
【课后作业】
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，若△ABC的面积为20，BD=2.5，则△BDE中BD边上的高为________。
第1题图 第5题图
若一个等腰三角形两边的长分别为2cm，5cm，则它的周长为________cm。
设三角形三边的长分别为3，7，，则的取值范围为__________。
已知三角形的三边长分别2，，4，则化简的结果为（ ）
B. C. 4 D. ﹣4
如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm，AC=3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多（ ）
5cm B. 3cm C. 8cm D. 2cm
如图，AD、CE是△ABC的两条高，AB=3cm，BC=6cm，CE=8cm，求AD的长。
如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，,,求△ABC的面积。
用一条长为41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边长为cm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm。
请用含的式子表示第三条边长；
若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长。
用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形。
如果底边长是腰长的一半，那么各边的长是多少？
能围成底边长是10cm的等腰三角形吗？为什么？

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