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第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形
【教学目标】：
等边三角形的性质定理和判定定理，能够熟练运用定理解题。
掌握一个角是30°的直角三角形的性质的运用。
【教学重难点】：
综合题型的运用。
【考点解析】
考点一 等边三角形
等边三角形的定义：三边 的三角形叫做等边三角形
等边三角形的性质：等边三角形的的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
等边三角形的判定
三条边相等的三角形是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE，求证：AE∥BC。
如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求证：CD=CE。
如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF。求证：△DEF是等边三角形。
如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E，F分别是边AD，CD上的点，且DE=CF，连接BE，EF，FB。求证：
△BDE≌△BCF；
△BEF是等边三角形。
如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．
针对练习1
如图，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，则BN的长为________。
如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理。
如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。
如图，在等边△ABC中，在边BC，AC上取BD=CE，连接AD，BE交于点F。求证：
△ABD≌△BCE；
∠AFE=60°
如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F，连接EF。求证：
AN=BM；
△CEF为等边三角形。
考点二 含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B=15°，AC=4cm，求BN的长。
如图，D、E分别为等边△ABC的边AC、BC上的点，且AD=CE，BD、AE交于点N，BM⊥AE于M。①求证：∠CAE=∠ABD；②求证：MN=BN。
针对练习2
如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120°，BC=6，则DE+DF=______.
如图，△ABC中，∠C=45°，∠ABC=120°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，AB的垂直平分线FH交AB于F，交AC于H，若CE=4，AH的长为______。
如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1，求BC的长。
如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF
【综合练习】
如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30°，则BD的长是（ ）
A．1 B．2 C. D.
如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AC=BD B．CD平分∠BCE
C．AD=2AB D．AD垂直平分BC
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，如果AD=BD=BC，那么∠A的大小是（ ）
A．42° B．40° C．36° D．30°
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC上一点，CD=AD=2，则BC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．试判断△DEB的形状，并说明理由．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，点0是△ABC内一点，△AB0△ACD，连接OD.
（1）求证△AOD为等边三角形．
（2）如图2，连接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=，求∠OCD的度数
【课后作业】
如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在处，折痕为，则（ ）．
B． C． D．
如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D，E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，则∠A的度数为（ ）
30° B. 20° C. 15° D. 60°
如图，，，若，则的度数是__________．
如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，求证:
CD=BE；
∠BOD=60°
△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD.
如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE=AB．
如图，等边△DEF的顶点在等边△ABC的边上．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BD＝2CD，求∠DFC的度数．

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