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第10讲 尺规作图
【教学目标】：
梳理几种常见的作图题，并能够准确的作图。
【教学重难点】：
正确地尺规作图。
【课前小测】
到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
如图所示，这是我国四所著名大学校微图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形．其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
如图，∠BAP＝15°，点P时∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝___．
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为13，△ABC的周长是19，若∠ACD=60°，则AD=_______。
如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于轴对称
（2）写出点A′，B′，C′的坐标．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD
【考点解析】
尺规作图：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图。
5种常见的尺规作图
作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；
作已知角的平分线；
经过一点作已知直线的垂线；
作已知线段的垂直平分线
尺规作图的基本步骤
题型一：作一个三角形等于已知三角形（作一条线段等于已知线段）
已知：△ABC
求作：画一个△A B C ，使A B =AB，A C =AC，B C =BC；
作法：①画B C =BC；
②分别以B ，C 为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A ；
③连接线段A B ，A C 。
题型二：作一个角等于已知角
已知：如图，∠AOB .
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB .
作法：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；
②画射线O'A'， 以点O'为圆心， OM长为半径画弧，交O'A'于点M'；
③以点M'为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点N'；
④过点N'画射线O'B'.
则∠A'O'B'就是所求作的角.
题型三：作已知角的角平分线
已知：如图，∠AOB .
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）.
作法：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；
③作射线OP.
则射线OP就是∠AOB的角平分线.
题型四：作已知线段的垂直平分线
已知：如图，线段MN.
求作：线段MN的垂直平分线PQ.
作法：
①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；
②过P、Q两点作直线．
则直线PQ就是所求作的直线. （点O是MN的中点）
题型五：过一点作已知直线的垂线
经过直线上一点作已知直线的垂线
已知：如图，P是直线AB上一点.
求作：直线PQ， 使PQ⊥AB.
作法：
①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，使它与AB交于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ.
则直线PQ就是所求作的直线.
经过直线外一点作已知直线的垂线
已知：如图，直线AB及直线外一点P.
求作：直线PQ，使PQ⊥AB.
作法：
①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，使它与AB交于点M、N；
②分别以点M、N圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ.
则直线PQ就是所求作的直线.
如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规作∠ABC的平分线交AC于点D。（保留痕迹）
如图，要在河流与公路围成的I区建一个工厂，使工厂的位置A到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点B处的距离为1cm（指图上的距离），在图中作出点A的位置，并给出简单的文字说明。
如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B。现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？
如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若OF=OE，请在（1）的基础上说明∠FAO=∠EPO．
尺规作图（不写作图步骤，保留作图痕迹），如图，，是两条公路，、是两个工厂，现欲建一个仓库，使其到两条公路的距离相等且到两条工厂距离也相等，试确定此仓库的位置．
针对练习1
用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
下图的尺规作图是作（ ）
A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆
C.一条直线的平行线 D.一个角等于已知角
如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是______（填SAS，ASA，AAS，SSS）．
如图，已知△ABC，∠B=90°，按下列要求作图（尺规作图，不写作图步骤保留作图痕迹）：作∠C的角平分线与AB相交于D；在AC边上取一点E，使CE=CB，连接DE．
已知：如图，△ABC中，请你按下列要求读句画图： (“作图”不要求写作法，但要保留
作图痕迹并写出结论)．
用尺规作图作∠BAC的角平分线AD交边BC于D点;
作线段AD的垂直平分线EF，交AD于E点，交BC的延长线于F点；
根据（1）（2）作图, 连结AF，若∠B=40°，请求出∠CAF的度数.
如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
用尺规作∠BAC的角平分线AE．
用三角板作AC边上的高BD．
用尺规作AC边上的垂直平分线MN．
如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．
（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．
如图，路边有A、B两个小区，要在公路m上修建一个公交车站，请问公交车站建在哪
能使车站到两小区的距离相等？
已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图9－16，使P到OA、OB的距离相等，
并且到M、N两点的距离也相等．
如图，A，B，C是三个村庄，现要修建一座变电站P，使变电站P到三个村庄A，B，C的距离都相等，请用尺规作图作出点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）
如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，且BD=CD．（本题作图部分要求用尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法．）作∠CBF=∠ABC，其中点A和点F分别在直线BC的两侧；
【课后作业】
如图，在△ABC，∠B＜∠C。
（1）作BC的垂直平分线DE，垂足为D，与AB相交于E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接CE，若∠B=25°，求∠BEC的度数．
已知:如图，线段AB和射线BM交于点B
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹(不写作法)。
①在射线 BM上作一点C，使AC=AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.
（2）在（1）所作的图形中，求证：BD=DE.
如图，△ABC中，∠A=60°．
（1）求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且点P到AB、BC的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠ACP=15°，求∠ABP的度数．
如图，公路OA和OB相交于点O，公路旁有M，N两个物资批发站，现要在∠AOB的内部建一个物资仓库，使仓库即到两条公路的距离相等，又到两个物资批发站的距离相等，请确定物资仓库的位置。

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