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第8讲 轴对称及线段的垂直平分线
【教学目标】：
能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
掌握线段垂直平分线的判定和性质，能用尺规准确地作出线段的垂直平分线。
【教学重难点】：
垂直平分线的判定和性质的运用。
【课前小测】
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AB=12，CD=4，则△ABD的面积为( )
A.48 B. 42 C.24 D.20
第1题图 第2题图 第3题图
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
A.(，1) B. (﹣，﹣1) C(-，1) D.(-1，)
如图，将纸片△ABC沿DE折登，点A落在点F处，已知∠1+∠2=140°，则∠A的度数等于( )
A.70° B. 60° C.50° D.40°
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是__________。
如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=12，BC=18，CD=8，则四边形ABCD的面积是_________。
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB．求证：BE=FD．
如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD．求证：EB=FC．
【考点解析】
考点一 轴对称
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
用坐标表示轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′_________.
点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″_________.
作轴对称图形；
下列平面图形中，不是轴对称图形的是 （ ）
(
(
A
)
(
B
)
(
C
)
(
D
)
)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC（顶点为网格线的交点）和直线l经过格点．
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2．
针对练习1
下列图形中对称轴最多的是( ) ．
A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．线段
如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AA′⊥MN C．AB∥A'B' D．BO=B′O
如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N。若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于直线对称的点的坐标是（ ）
A．（-2，3） B．（3，-2） C．（-3，2） D．（-2，-3）
已知点关于轴对称，则
考点二 线段的垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何语言表达：
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言表达：
线段垂直平分线的画法（尺规作图）
题型一：垂直平分线的性质
如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D。
AD=_______，∠ADC=________°，AC=________；
若AD=4，AC=5，求△ABC的周长。
如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．
△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。
针对练习2
如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若 AC=6，△BCD的周长为 10，则 BC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
第1题图 第2题图 第3题图
如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_______。
如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线ED交AC于点D，△BCD的周长是6cm,则BC的长为______cm.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE=AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠C=70°，求∠BAC的度数．
题型二：垂直平分线的判定
如图，AB=AC，MB=MC。求证：直线AM是BC的垂直平分线。
已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线
如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点，求证：DF是AB的垂直平分线．
针对练习3
如图，在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P，求证：点P在AC的垂直平分线上。
已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE是CD的垂直平分线．
如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
【综合练习】
如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点
C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点
下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于（ ）
95° B. 15° C. 95°或15° D.170°或30°
如图，在△ABC中， ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为_________．
如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．
如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．
已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．
如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．
如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数。
【课后作业】
如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )
① ② ③ ④
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A 三角形三条角平分线的交点； B 三角形三条垂直平分线的交点；
C 三角形三条中线的交点； D 三角形三条高的交点。
如图，在Rr△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
30° B．40° C．50° D．60°
第3题图 第4题图 第5题图
如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A． 11 B． 5.5 C． 7 D． 3.5
如图在△ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，AB=6cm，AC=8cm，则△ABE的周长为（ ）
A． 20cm B． 12cm C． 8cm D． 14cm
点A(3，-2)关于轴对称的点的坐标为_________,关于轴对称的点的坐标为________.
如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC= ，△BDC的周长C△BDC =__________。
.如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.
(
第
8
题
) (
第
7
题
)
如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．求∠PAQ的度数．
如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.求证：∠FAC=∠B

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