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第7讲 HL的判定及角平分线
【教学目标】：
掌握直角三角形中用HL进行判定两个三角形全等的方法。
能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并能综合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题。
角平分线性质的运用。
【教学重难点】：
探索、归纳证明两个三角形全等的条件，提高运用知识的能力。
【考点解析】
考点一 全等三角形的判定5-“斜边、直角边”（HL）
回顾与思考
判别两个三角形全等方法： ， ， ， 。
如图，Rt△ABC中，直角边 、 ，斜边 。
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”
条件①：斜边对应相等 条件②：一条直角边对应相等前提：两个直角三角形
斜边、直角边公理(HL)推理格式
∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）
已知：如图，在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D，AD=BC，求证：△ABC≌△BAD.
针对练习1
如下图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
(
A
E
B
D
C
F
)
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.
已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE，
求证：OB=OC.
如图4，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.
已知：如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是高，且AB=DE，AP=DQ，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF
针对练习2
已知：∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD。求证：CE=DE.
如图：AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F，求证：CE=DF.
如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF.
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
考点二 角平分线的性质
角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB。
（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB， ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
②实际生活中的应用．
题型一 角平分线的性质
在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
针对练习3
如图，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.
已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB =AC，BD平分∠ABC．求证：BC = AB + AD.
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DC=3cm，AB=10cm，求△ABD的面积。
如图，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.
针对练习4
如图△ABC中,∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A 4cm B 6cm C 10cm D 不能确定
第1题图 第2题图
如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 _________
如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．
如图20，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。
如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？
题型二 角平分线的判定
如图，凹四边形ABOC中，OB=OC，∠B=∠C，求证：AO平分∠BAC.
如图，△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线相交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证：BP为∠ABC的平分线.
针对练习6
判断:
若PE=PF，则OP是∠AOB的平分线。( )
若PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则OP是∠AOB的平分线。( )
已知Q到OA的距离等于3cm, 且Q到OB距离等于3cm ，则Q在∠AOB的平分线上。（ ）
如图，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.
如图，在△ABC中，∠C=90 ，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于E，DE=DC．求证：AD=BD．
已知，如图BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，求证：PM＝PN。
如图BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，且CE=BF，求证：点D在∠BAC的平分线上
已知，如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．
如图，B是∠CAF内一点，D在AC上，E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等。求证：AB平分∠CAF。
【课后作业】
如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（ ）
(
B
C
D
F
┎
┘
A
E
)A．SSS B. ASA C. SAS D. HL
(
┐
A
B
M
C
) (
A
C
D
B
)
第1题图 第2题图 第4题图
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（ ）.
A．SSS B. AAS C. SAS D. HL
下列说法正确的个数有（ ）.
①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；
②有两边对应相等的两个直角三角形全等；
③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；
④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，△ABC中，∠C=，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离
是 cm.
如图，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC，直线DN经过点C，且AD⊥DN于D，BE⊥DN于E，求证：DE=AD+BE.
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB=20，AC=16，DE=6，求S△ABC．
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm ，AB=15cm，AC=13cm，求DE的长。
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF。求证：AD平分∠BAC．

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