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第5讲 二次函数图象的性质（一）
【教学目标】：
掌握二次函数的概念、顶点式的图像和性质，并能根据二次函数的图像和性质解决相关问题
【教学重难点】：
能根据二次函数的图像和性质解决相关问题
【考点解析】
考点一 二次函数的概念
定义：形如(是常数, ≠0)的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
一般形式：(≠0，是常数）
说明：
（1）等号左边是变量，右边是关于自变量的整式；
（2）为常数，且≠0;
等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式(≠0)外，还有其特殊形式如，,等.
下列函数是二次函数的是( )
A. y＝ax2+bx+c B．y＝2(x2﹣1)﹣2x2+x
C. y＝x2 D．y＝+3x﹣1
若y＝(m+1)是二次函数，则m的值为________
针对练习1
下列函数不是二次函数的是( )
A.y＝(x﹣1)2 B．y＝1﹣x2
C.y＝﹣(x+1)(x﹣1) D．y＝2(x+3)2﹣2x2
若函数是关于二次函数，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．1或0
如果函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A. B． C．＝﹣2 D．为全体实数
考点二 二次函数顶点式的图象和性质
题型一：二次函数的图象和性质
一．探究
【问题】画出二次函数、的图象.
列表。
-2 -1 0 2 1 ……
描点，连线
根据所画出的函数图像，在下表中填写函数的开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性。
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
二．总结
填表。
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
二次函数的图象如图所示。
m的取值范围是________；
若在抛物线上有两个点A（2，），B（5，），则________（填“＞”“＜”或“＝”）
针对练习2
抛物线的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
若二次函数的开口向下，则m的值是（ ）
A．2 B．-1
C．2或-1 D．以上答案都不对
已知抛物线（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
抛物线的对称轴是（ ）
A．直线= B．直线=﹣ C．直线=0 D．直线=0
抛物线的顶点坐标是__________．
已知函数的图象是抛物线，且当时，y随的增大而增大，则m=___．
抛物线开口向上，则的取值范围是____________．
抛物线的开口向______，顶点坐标______．
已知是二次函数，
（1）若其图像开口向下，求k的值；
（2）若当时，随的增大而减小，求函数关系式．
题型二：二次函数的图象和性质
【问题】在同一直角坐标系中，画出二次函数的图象．
列表
-2 -1 0 2 1 ……
描点，连线
根据所画出的函数图像，在下表中填写此函数的开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性。
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
总结：
二次函数的图象和性质
二次函数与（≠0）的图象的关系
二次函数的图象可以由的图象平移得到：
当>0时，向上平移个单位长度得到.
当<0时，向下平移-个单位长度得到.
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.
写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值。
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
其最小值为2
其图象与y轴没有公共点
当时，随的增大而减小
其图象的对称轴是轴
二次函数的图象是将( )
A．抛物线向左平移3个单位得到
B．抛物线向左平移1个单位得到
C．抛物线向上平移1个单位得到
D．抛物线向上平移1个单位得到
若点A（﹣3，），B（﹣1，），C（2，）都在抛物线上，则的大小关系是（ ）
B. C. D.
针对练习3
二次函数图像的对称轴是（ ）
A．直线=0 B．直线=2 C．直线=4 D．直线= 4
抛物线y＝-32＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）．
A．向下，（0，-4） B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4） D．向上，（0，-4）
二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是
C．当时，函数的最大值是 D．抛物线与轴有两个交点
抛物线的对称轴是（ ）
A.直线 B．轴 C．直线 D．直线
将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ．
如果点和点是抛物线上的两点，那么______．（填“＞”、“=”、“＜”）．
在直角坐标平面内，抛物线在轴__________侧图像上升(填“左”或“右”) ．
二次函数的图象的顶点坐标是________．
写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________．
求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
经过点（-3，2）.
题型三：二次函数的图象和性质
【问题】画出二次函数与、的图象．
列表
……
描点，连线。
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
总结：
总结二次函数(a≠0)的性质：
二次函数与的关系
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
关于的二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
它的开口方向向上
它的对称轴是直线
它的顶点坐标为（3，0）
当时，随的增大而增大
将二次函数的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
二次函数中，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，则m=_______，此时，该函数的图象的顶点坐标为________，当=________时，取最_______值，为________。
二次函数的图象上有两点P，Q，则和的大小关系是_________。
针对练习4
在平面直角坐标系中，二次函数(a≠0）的图象可能是（ ）
A B C D
下列二次函数中，对称轴为直线=1的是（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（-3,0） C．（0,3） D．（0，－3）
抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
下列二次函数中，顶点坐标为（－5，0），且开口方向、形状与的图象相同的是（ ）
A． B． C． D．
二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
抛物线的顶点坐标是_____________．
点A（﹣1，﹣2）在抛物线＝﹣（﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标为_____．
抛物线的顶点坐标是______，对称轴是_____．
已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数图象上的两点，若，则y1_____y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
已知抛物线的对称轴是直线=4，则m=_____．
已知抛物线，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当为何值时，随的增大而减小.
题型四：二次函数的图象和性质
【问题】
（1）画出函数、、的图象
（2）根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
总结：
二次函数（a≠0）的性质是：
二次函数与的关系
可以看作互相平移得到的.
对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
开口向下 B. 对称轴是
顶点坐标是（1，2） D. 与轴有两个交点
将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为（ ）
B.
D.
针对练习5
抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二次函数的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
二次函数的图象中，若随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．＜2 B．＞2 C．＜﹣2 D．＞﹣2
将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
B.
D.
二次函数的图象的开口方向是_________，对称轴是________，顶点坐标是________。
已知A（﹣3，），B（﹣1，）是抛物线上的两点，则的大小关系为____________。
函数的图象可由函数的图象向 平移3个单位，再向_____平移2个单位得到。
【课后作业】
已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上两点A（a，y1），B（1，y2），其中a＜1，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断
在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大
D．当x>2时，y的值随x值的增大而增大
已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
二次函数y＝﹣2x2+3的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，﹣2） D．（0，﹣3）
把y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2
C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2﹣2
已知点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
抛物线y＝﹣3x2经过平移得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个，再向下平移2个单位
B．向右平移1个，再向下平移2个单位
C．向左平移1个，再向上平移2个单位
D．向右平移1个，再向上平移2个单位
如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
直角坐标平面上将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）
A．（0，0） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣2，1）
将抛物线y＝ax2+c向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝﹣2x2﹣1，则a＝　 　，c＝　 　．
将抛物线y＝3x2﹣1向右平移1个单位后，所得新抛物线的函数表达式是 ．
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　 　y2（填“＜”，“＞”或“＝”）．
若点（﹣1，m）在二次函数y＝x2+3的图象上，则m＝　 　．
抛物线y＝﹣2x2﹣3的开口 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
二次函数y＝（x+3）2﹣2的图象是由函数y＝x2的图象先向　 　（左、右）平移　 　个单位长度，再向　 　（上、下）平移　 　个单位长度得到的．
二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是 　 　．
二次函数，当x＝ 时，y 有最小值________。
函数，当x 时，函数值y随x的增大而增大。

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