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第2讲 根与判别式、系数的关系
【教学目标】：
掌握根的判别式与韦达定理；
根据根与系数的关系判断根的正负性；
【教学重难点】：
根的判别式与韦达定理的运用。
【课前小测】
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．
A.﹣3，﹣4，﹣5 B.3，﹣4，5 C.3，4，5 D.3，4，﹣5
如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ）
A.4 B. C.2 D.
方程是一元二次方程，则m=_______
一元二次方程 的解为 ．
已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ．
用适当方法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【专题解析】
考点一 根的判别式的运用
一元二次方程根的判别式为
①当时，方程有两个不相等的实数根
②当时，方程有两个相等的实数根
③当时，方程没有实数根
【例1】
（1）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A B C D
（2）已知有关于的一元二次方程
①有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________
②有两个相等的实数根，则k的取值范围是__________
③没有实数根，则k的取值范围是__________
（3）已知：关于x的方程
①不解方程：判断方程根的情况；
②若方程有一个根为3，求m的值。
针对练习1
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是__________
若关于的方程有实数根，则m的取值范围是________
已知关于x的一元二次方程，当k取何值时：
方程有两个不相等的实数根？
方程有两个相等的实数根？
方程有实数根？
方程没有实数根？
【例3】证明不论m为何值，关于的方程没有实数根。
针对练习2
证明不论m、n为何值，关于的方程都有实数根。
已知关于x的方程没有实数根，判断关于x的方程的根的情况.
考点二 根与系数的关系
思考1 从因式分解法可知，方程（为已知数）的两根为，将方程化为的形式，你能看出与p，q之间的关系吗？
思考2 一般的一元二次方程中，二次项系数未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
归纳总结：
根与系数的关系：若一元二次方程有两实数根分别为、，则两根之和，两根之积
利用根与系数解题时需注意：①二次项系数不能为0；②判别式
韦达定理常用公式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
.
（1）已知、是方程的两根，则为__________
（2）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________
（3）已知关于的一元二次方程两根分别为，求下列各值
①； ②； ③
已知关于的一元二次方程。
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根，且1，求的值。
针对练习3
若是一元二次方程2－3＋2＝0的两根，则的值是（ ）
－2 B．2 C．3 D．1
已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ）
A．﹣3 B． 3 C．﹣6 D． 6
若0，﹣3是方程的两个根，则__________
若关于的方程有一个根为-1，则另一个根为__________
关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；＝ 。
当m=_______时，关于的方程的两根互为相反数。
若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）
【综合练习】
方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实根 B．有两个相等实根
C．无实根 D．以上三种情况都有可能
等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10＝0的两根，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或9 C．9 D．7
已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣
设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．19 B．25 C．31 D．30
若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
a，b是方程x2﹣1840x+2019＝0的两根，（a2﹣1841a+2020）（b2﹣1841b+2020）＝ ．
设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为 ．
解下列方程：
（1）4x2﹣x﹣9＝0 （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2 （3）3x（2x+1）＝4x+2
关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1 x2，求k的值．
已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出k的值．
已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【课后作业】
若方程中有一个根为零，另一个根非零，则的值为 ( )
A B
C D
如果方程的两个实根互为相反数，那么的值为（ ）
A 0 B －1 C 1 D ±1
下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；
＝ 。
如果关于的一元二次方程有两个相等的负根，则；
、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
解方程：
（1）x2﹣x＝3x+5； （2）（x+1）2＝7x+7．
已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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