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2022-2023学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
3. 今年，北京市的大气治理已经进入向“宣战”的第十个年头有了科技的助力，大气治理工作从“漫天撒网”细致到了网格，精确到点位在基层环境治理中，热点网格可谓生态环境执法部门的一项“利器”当热点网格内的臭氧超标浓度值高于微克立方米，且超过周边网格浓度微克立方米就会产生报警其中微克克，把用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 以下问题，适合全面调查的是( )
A. 了解某种奶制品中蛋白质的含量
B. 检测一批折叠手机的耐折次数
C. 了解北京电视台春节联欢晚会的收视率
D. 中考英语听说计算机考试前，对考试设备进行测试
5. 已知，下列不等式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，，射线在内部，下列说法一定成立的是( )
A. 和互余
B. 和互补
C. 和互为对顶角
D. 和相等
7. 如图，下列条件中，能判断的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知关于的不等式组有以下说法：
当时，则不等式组的解集是；
若不等式组的解集是，则；
若不等式组无解，则；
若不等式组的整数解只有，，，，则．
其中正确的说法有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 用不等式表示“的倍与的差小于”为______ ．
10. 将分解因式得______ ．
11. 某车库的门禁如图所示，点，为旋转轴，门禁杆放平位置与抬起位置平行若，则 ______
12. 昌平区某月连续天的最高气温数据整理如下：
最高气温
天数
根据统计表中的数据，这组数据的众数是______ ，这天最高气温的平均值是______
13. 命题“相等的角是对顶角”是______命题填“真”或“假”．
14. 已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为______ ．
15. 如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点，，在同一条直线上，将下面正确的依据序号填写在横线上______ ．
两点确定一条直线；
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
16. 某运动品牌店在进行优惠促销活动：单件商品的价格大于等于元打折；所购全部商品的总价大于等于元打折以上两种优惠可同时享受某顾客心仪的四种商品对应价格如下：
商品
价格元
若只选购商品，则应付金额为______ 元；
若此顾客想从这四种心仪商品中选购两件，且在享受优惠的基础上所付金额最少，应该选择的商品搭配是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
把代数式分解因式．
19. 本小题分
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
20. 本小题分
解方程组
21. 本小题分
解不等式组
22. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
23. 本小题分
在学校的校本课上，李宏同学设计了一个运算程序，如图：
按照上述程序进行运算，程序运行到“判断是否大于”为一次运行．
若，则需要该运算程序运行______ 次才能输出结果；
若该程序运行了两次就输出了结果，求满足此条件的最小整数的值．
24. 本小题分
在一次有人参加的数学竞赛活动中，将成绩在分及以上定为“优秀”，分至分定为“良好”，分至分定为“合格”，从其中随机抽取人的成绩组成一组样本并进行数据整理，下面给出部分信息．
分至分的数据如下：
．
．
活动成绩分布表
成绩分组含两端数据 画记 频数
正
正
正正
正
正
活动成绩等级扇形图
根据以上信息，解答下列问题：
补全“活动成绩分布表”和“活动成绩等级扇形图”；
这组样本成绩的中位数为______ ；
根据本组抽样的数据，推测本次活动中取得优秀成绩的人数为______ 人
25. 本小题分
陈佩与赵晴川在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法．
陈佩说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在三线八角的图形中进行研究此图中没有三线八角的图形，能不能构造出三线八角的图形呢？”
赵晴川想了想，说道：“可以构造一条截线，与三条已有直线，，分别交于点，，，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”．
按照上述同学的说法，完成证明：
已知：如图，，．
求证：．
在图中画出辅助线，并标出点，，；
补全证明过程：
，
______ 两直线平行，同位角相等．
，
两直线平行，______ 角相等．
______ ．
______
26. 本小题分
学校组织义卖活动，某班设计制作了手工艺品件，手绘作品件，且单件手工艺品比手绘作品的定价高元，若全部售出，此班可募集捐款元．
求单件手工艺品和手绘作品的定价各是多少元？
本班学生决定将义卖金额再增加至元之间不包括元和元，在现有时间内可补充的手工艺品和手绘作品共计件，求出所有符合条件的补充方案．
27. 本小题分
阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被整除，则这个数就可以被整除”．
设表示一个三位数，
则
因为能被整除，如果也能被整除，那么就能被整除．
一个四位数，如果能被整除，证明能被整除；
若一个五位数能被整除，则 ______ ；
若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______ 数字“”除外；
由数字至组成的一个九位数，这个数的第一位能被整除，前两位组成的两位数能被整除，前三位组成的三位数能被整除，以此类推，一直到整个九位数能被整除，写出这个九位数是______ ．
28. 本小题分
如图，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
已知是的关联角．
当时， ______ ；
当时，直线，的位置关系为______ ；
如图，已知是的关联角，点是直线上一定点．
求证：是的关联角；
过点的直线分别交直线，于点，，且当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：．
故选：．
移项，合并同类项即可．
本题考查了解一元一次不等式的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，根据同底数幂的乘法的运算法则：是正整数求解即可求得答案．
【分析】
解：．
故选B．

3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的定义即可得出结论．
本题考查了科学记数法，明确有效数字的取值范围是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、了解某种奶制品中蛋白质的含量，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、检测一批折叠手机的耐折次数，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、了解北京电视台春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、中考英语听说计算机考试前，对考试设备进行测试，适合全面调查，故D符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，选项错误；
，
，选项错误；
，
，选项正确；
，
，选项错误；
故选：．
根据不等式的性质不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
和互余．
故选：．
根据垂线和余角的定义即可得出答案．
此题主要考查了垂线和余角的定义，关键是掌握垂线定义．
7.【答案】
【解析】解：、，由内错角相等，两直线平行，能判断，故A符合题意；
B、中的两对角都不是，被截成的内错角，故B、不符合题意；
D、、不是，被截成的同旁内角，故D不符合题意．
故选：．
由平行线的判定方法，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
8.【答案】
【解析】解：关于的不等式组，
当时，则不等式组的解集是，故本小题正确；
若不等式组的解集是，则，故本小题正确；
若不等式组无解，则，故本小题正确；
若不等式组的整数解只有，，，，则，故本小题正确；
故选：．
先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
由的倍与的差得，进而可得不等式．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式．用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
10.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
根据平方差公式进行分解，即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
又，
．
故答案为：．
首先根据得，然后再根据可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
12.【答案】
【解析】解：根据统计表中的数据，这组数据的众数是，
这天最高气温的平均值是．
故答案为：，．
根据众数的定义以及加权平均数的计算公式解答即可．
本题考查了众数和加权平均数，掌握相关定义是解答本题的关键．
13.【答案】假
【解析】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假．
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
14.【答案】
【解析】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
所以方程组的解为，
故答案为：．
根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解．
此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
，，在同一条直线．
故答案为：．
由平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，即可判断．
本题考查平行线的判定，平行公理，关键是掌握平行公理．
16.【答案】
【解析】解：元．
故应付金额为元．
故答案为：；
商品搭配：元，
商品搭配：元，
元元，
应该选择的商品搭配是．
故答案为：．
根据优惠促销活动列出算式计算即可求解；
从这四种心仪商品中选购两件，且在享受优惠的基础上所付金额最少，应该选择的商品搭配或，找到其中满足条件的即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，关键是对两种优惠可同时享受的理解．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：．
【解析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
19.【答案】解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，
系数化为，得．
解集在数轴上表示为
．
【解析】先去括号，再移项、合并同类项、最后系数化为即可，再在数轴上把解集表示出来．
本题考查了解一元一次不等式、解一元一次方程以及在数轴上表示不等式的解集，是基础知识要熟练掌握．
20.【答案】解：
，得，解得，
把代入，得，解得，
所以原方程组的解为
【解析】将得，求解得出的值，把的值代入，可得出的值，即可得出方程组的解．
此题主要是考查了二元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是解答此题的关键．
21.【答案】解：，
由得；
由得；
所以，原不等式组的解集为．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
22.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先利用多项式乘以多项式，积的乘方公式，多项式除以单项式法则化简，再合并同类项，然后将的值代入求值．
此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用多项式乘以多项式，积的乘方公式，多项式除以单项式法则是解答此题的关键．
23.【答案】
【解析】解：第次：时，，
第次：时，，
第次：时，输出结果．
故答案为：；
根据题意：
．
，
根据题意，是整数，且最小，
所以取．
根据所给程序运算法则求解即可；
根据所给程序运算法则列不等式，求解即可．
本题考查程序流程图与有理数的运算，解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式是解答的关键．
24.【答案】
【解析】解：根据分至分的数据，补全“活动成绩分布表”，如下表：
优秀率为：，良好率为：，
补全“活动成绩等级扇形图”如下：
中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据的平均数，第，的两个数分别为、，
中位数为；
故答案为：；
推测本次活动中取得优秀成绩的人数为人，
故答案为：．
根据分至分的数据即可补全“活动成绩分布表”，计算出优秀和良好的百分比即可补全“活动成绩等级扇形图”；
根据中位数的定义即可得出答案；
用总人数乘以优秀的百分比即可．
本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数，准确理解这些概念是解题的关键．
25.【答案】 内错 内错角相等，两直线平行
【解析】解：如图所示．
证明：，
两直线平行，同位角相等．
，
两直线平行，内错角相等．
．
内错角相等，两直线平行．
故答案为：，内错，，内错角相等，两直线平行．
按要求画图即可；
根据平行线的判定与性质填空即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
26.【答案】解：设单件手工艺品的定价是元，单件手绘作品的定价是元，
依题意得：，
解得：，
答：单件手工艺品定价为元，单件手绘作品定价为元；
设现有时间内可补充的手工艺品为件，则手绘作品为件，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
，，，
符合条件的补充方案有种：
手工艺品件，手绘作品件；
手工艺品件，手绘作品件；
手工艺品件，手绘作品件．
【解析】设单件手工艺品的定价是元，单件手绘作品的定价是元，根据单件手工艺品比手绘作品的定价高元，若全部售出，此班可募集捐款元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设现有时间内可补充的手工艺品为件，则手绘作品为件，根据本班学生决定将义卖金额再增加至元之间，列出一元一次不等式组，解得，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
27.【答案】
【解析】解：是一个四位数，
，
能被整除，能被整除，
能被整除，
四位数能被整除．
是一个五位数，
，
五位数能被整除，
能被整除，
．
三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，
不妨假设，，，
，
三位数的最小正因数一定是．
，，，，均为至之间的整数，
又一位数能被整除，说明为质数；
四位数能被整除，说明两位数能被整除，则，，，，，
九位数中已有，，故不能为，，因此，，，
五位数能被整除，说明末尾数字，故，则，，
八位数能被整除，说明三位数能被整除，故得，
这时的九位数为：，
，，对应，，，
为质数，故得，
又两位数能被整除，且，
，
这个九位数是：．
首先把四位数改写成，由能被整除，能被整除可得出结论；
首先把五位数改写为，然后根据这个五位数能被整除得能被整除，据此可求出；
依题意不妨假设，，，则三位数，据此可得出答案；
根据能被整除得为质数；根据四位数能被整除，说明两位数能被整除得，，，，，由于九位数中已有，，故得，，，根据五位数能被整除得，则，，再根据八位数能被整除，说明三位数能被整除，由此得，据此得九位数是，这是还有，，对应，，，由为质数可得，两位数能被整除得，故得，据此可得出这个九位数．
此题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键．
28.【答案】 平行 、或
【解析】解：是的关联角，，
．
故答案为：．
由题意可得方程组，解得，
，
．
故答案为：平行．
证明：是的关联角，
，
又，，
，
，
是的关联角．
当直线位于如图所示位置时：
是的关联角，，
．
若是的关联角，则．
若是的关联角，则，得．
当直线位于如图所示位置时：
，，
，
若是的关联角，则．
，
舍去．
若是的关联角，则，得．
故答案为：、或．
根据关联角所满足的关系式即可解答，
解与构成的方程组，根据和的关系来确定直线，的位置关系．
由与、与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明．
根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可．
本题考查了同旁内角及角的计算，难度不大，注意分情况讨论．
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