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2023年宁夏中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下面是由七巧板拼成的图形只考虑外形，忽略内部轮廓，其中轴对称图形是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数单位：次，按劳动次数分为组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足次的概率是( )
A. B. C. D.
5. 估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
6. 将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是( )
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A. 随的增大而减小
B.
C. 当时，
D. 关于，的方程组的解为
8. 如图，在中，，，点在上，且：：连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的面积是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算： ______ ．
10. 如图，在边长为的正方形中，点在上，连接，则图中阴影部分的面积是______ ．
11. 方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．
12. 如图，在标有数字，，，的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为的概率是______ ．
13. 如图，四边形内接于，延长至点，已知那么 ______
14. 如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是______ ．
15. 如图是某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为刻度点当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡测得与的几组对应数据如下表：
克
毫米
由表中数据的规律可知，当克时， ______ 毫米．
16. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：
点与点关于点中心对称；
连接，，，则平分；
连接，则点，到线段的距离相等．
其中正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由得：
第步
第步
第步
第步
任务一：该同学的解答过程第______ 步出现了错误，错误原因是______ ；
不等式的正确解集是______ ；
任务二：解不等式，并写出该不等式组的解集．
19. 本小题分
如图，已知，，分别是和上的点，求证：四边形是平行四边形．
20. 本小题分
“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源某经营者购进了型和型两种玩具，已知用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示______ ，乙所列方程中的表示______
该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具共个，则最多可购进型玩具多少个？
21. 本小题分
给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
当气球内的气压超过时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸球体的体积公式，取；
请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
22. 本小题分
如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为，传送带与水平面成角假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？传送带厚度忽略不计
23. 本小题分
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行统计：
七年级
八年级
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______ 年级的学生；
学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
24. 本小题分
如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为连接．
求证：平分；
若，，求的半径．
25. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
直接写出点的坐标；
在对称轴上找一点，使的值最小求点的坐标和的最小值；
第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
26. 本小题分
综合与实践：
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现
如图，在中，，．
操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则 ______ ，设，，那么 ______ 用含的式子表示；
进一步探究发现：底，这个比值被称为黄金比在的条件下试证明：；
拓展应用
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形例如，图中的是黄金三角形．
如图，在菱形中，，求这个菱形较长对角线的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用绝对值的定义可得结论．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：．
结合轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据条形统计图，求出周家庭劳动次数不足次的学生数占总人数的几分之几即可．
本题考查频数分布直方图，概率的定义，理解概率的定义是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
且，
，
故选：．
运用算术平方根的知识进行估算、求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根进行求解．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：：由图象得随的增大而减小，
故A正确的；
：由图象得：，
故B是错误的；
：由图象得：当时，，
故C是正确的；
：由图象得：的解为：，
故D是正确的；
故选：．
根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
在中，，，
，，
，
≌，
，，
，
，：：，
，，
，
故选：．
根据旋转的性质得出，，再根据证明≌得出，，得出，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明≌是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用同分母分式的加法法则运算即可．
本题主要考查了分式的加减法，掌握同分母分式的加法法则运算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，先根据平行线间的距离相等得出，然后求出的面积，正方形的面积，即可求出阴影部分的面积．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟知平行线间的距离相等是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12.【答案】
【解析】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两次数字之和为的有种，
所有所选方格中数字之和为的概率是，
故答案为：．
利用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
由圆内接四边形的性质，得到，由邻补角的性质得到，因此，由圆周角定理求出，得到．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出．
14.【答案】
【解析】解：点表示的数是，线段，
点表示的数是，
点是的中点，
线段，
点表示的数是：，
故答案为：．
先表示出点表示的数，再根据点是的中点进行求解．
此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
15.【答案】
【解析】解：由题可得当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
所以当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，
故答案为：．
观察列表中数据可知当放入克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米，把代入求值即可．
此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，如图：
由图可知，点与点关于点中心对称，故正确；
如图：
由可知≌，
，平分，故正确；
取上的格点，，连接，，如图，
由正方形性质可知，
到的距离为的长度，到的距离为的长度，
而，
点，到线段的距离相等，故正确；
正确结论是；
故答案为：．
根据中心对称概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断．
本题考查中心对称，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握中心对称的概念，能熟练应用全等三角形的判定定理．
17.【答案】解：原式
．
【解析】本题涉及实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查了实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，掌握实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值是关键．
18.【答案】 不等式的基本性质应用错误
【解析】解：任务一：，不等式的基本性质应用错误，；
任务二：，
，
，
该不等式组的解集为．
任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可；
任务二：先移项，再合并同类项，把的系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
【解析】根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键．
20.【答案】型玩具的单价 型玩具的数量
【解析】解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示型玩具的单价；乙所列方程中的表示型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；型玩具的数量；
设可购进型玩具个，则型玩具个，
根据题意得：，
，
整数最大值是，
答：最多可购进型玩具个．
根据所列方程即可判断出的意义；
设可购进型玩具个，则，解不等式即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
21.【答案】解：设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解析】设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
22.【答案】解：如图，设传送带上点处的粮袋上升到点，构建，
则，
由弧长公式得：，
，
，
在中，，，
，
答：传送带上点处的粮袋上升的高度是．
【解析】设传送带上点处的粮袋上升到点，构建，则，由弧长公式求出的长，再由含角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，弧长公式以及含角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】 七
【解析】解：把七年级名学生的测试成绩排好顺序为：，，，，，，，，，，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级名学生的成绩中分的最多有人，所以众数，
同学得了分大于分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：，，七；
人，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为人；
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
根据中位数和众数的定义即可求出答案；
分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
24.【答案】证明：连接，
直线是的切线，切点为，
，
又，垂足为，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，
是的直径，
，
又，
由得：，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
【解析】连接，由切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用的结论可得，从而求出的长，然后再利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，
，
联立得，
解得，
二次函数的解析式为，
令得，
解得或，
点的坐标为；
如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点，
设直线的表达式为，
把和代入得：
解得，
直线的表达式为，
当时，，
，
，
在中，，
点，关于直线对称，
，
；
如图补全图形，
由得抛物线的表达式为，由得：，
故设，则．
，
过点作，垂足为，则是等腰直角三角形．
，
，
当时，有最大值，
此时点．
【解析】根据二次函数的对称轴为直线得，把点代入抛物线得，联立得，解得，所以二次函数的解析式为，令得，解得或，即可求得点的坐标；
连接，线段与直线的交点就是所求作的点，设直线的表达式为，代入和即可求得直线的表达式为，当时，，得，在中，，因为点，关于直线对称，所以，即可求得；
由得抛物线的表达式为，由得：，设，则得，过点作，垂足为，则是等腰直角三角形，所以，所以，当时，有最大值，此时点．
本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的性质是解题的关键．
26.【答案】
【解析】探究发现
解：，，
，
边落在边上，点的对应点是点，
，，
，
，
故答案为：，；
证明：由知：，
，
，
，
∽
即，解得
；
拓展应用
如图，
在上截取，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
．
探究发现
可求得，，，进而求得的值，；
可证得∽，从而，进而得出，解得，从而得出；
拓展应用
在上截取，连接，可得出是黄金三角形，从而得出的值，可推出，进而求得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“黄金比”．
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