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人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.1椭圆第一课时同步练习(原卷版)
考点一 椭圆的定义
【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知 是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）
直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
（2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【一隅三反】
1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
2．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )
A．4 B．194 C．94 D．14
3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
考点二 椭圆定义的运用
【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
（2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．且
【一隅三反】
1．（2020·广东高三月考（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
（2）（2019·广西田阳高中））已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
2．（2018·湖南高二期中（理））已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
A．10 B．12 C．16 D．20
3．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
考点三 椭圆的标准方程
【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
（2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和
考点四 离心率
【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。
（2）（2019·江西南昌十中高二期中（文））过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为
【一隅三反】
1．（2020·江苏淮安.高二期中）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·历下.山东师范大学附中）椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·内蒙古通辽实验中学高二月考）椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
4．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为（ ）
B． C． D．
人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.1椭圆第一课时同步练习(解析版)
考点一 椭圆的定义
【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知 是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）
直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
（2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】（1）B（2）D
【解析】（1）对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B．
（2）因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，
故选D．
【一隅三反】
1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1
2．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )
A．4 B．194 C．94 D．14
【答案】D
【解析】依题意，且.故选：D
3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
【答案】　②
【解析】　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
考点二 椭圆定义的运用
【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
（2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．且
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.
综上：实数的取值范围是且故选：D
【一隅三反】
1．（2020·广东高三月考（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.
2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D.
3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为方程表示椭圆，故：，且；
又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D.
【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
（2）（2019·广西田阳高中））已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C
【解析】（1）的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C．
（2）由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，
所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64，
整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1 t2＝100，③
所以③﹣②得t1t2＝12，
∴∠F1PF2＝3．故选A．
【一隅三反】
1．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
2．（2018·湖南高二期中（理））已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【解析】椭圆，可得，
三角形的周长，，
所以：周长，
由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．
3．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
【答案】
【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°
12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，
∴.
考点三 椭圆的标准方程
【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
（2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程
【答案】（1）；（2）或（3）
【解析】（1）由已知条件可得，可得，，
因此，所求椭圆的标准方程为；
（2）易知椭圆的离心率．
当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
（2）因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上，
所以，所以椭圆的标准方程为．此椭圆的标准方程是或.
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和
【答案】(1) (2)或（3）
【解析】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，
，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或.
（2）设椭圆的方程为．
将A，B两点坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的方程为．
考点四 离心率
【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。
（2）（2019·江西南昌十中高二期中（文））过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据题意，可知，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率为.
（2）根据题意，如图所示，
可得为正三角形，可得在中，有，
点在椭圆上，由椭圆的定义可得，
则该椭圆的离心率
【一隅三反】
1．（2020·江苏淮安.高二期中）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，
则，所以，
由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为，
则，所以，
由题得，，则，
即，则有，即，
而，所以，
整理得：，则，即，
解得：，
即椭圆的离心率为.
故选：C.
2．（2019·历下.山东师范大学附中）椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为，
则，即；或，
若，①
∵，
∴，②
由①②得：，，
∴椭圆的离心率；
若，③
∵，
∴，④
由③④得：，，不符合题意，舍去，
故椭圆的离心率为.
故选：C.
3．（2019·内蒙古通辽实验中学高二月考）椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，消去得，，
设，中点为，
则
，
即离心率，故选B.
4．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率e＝选D.
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