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1.3 证明
一、单选题
1．你们曾经玩过“两人‘抢30’游戏”（游戏规则中规定每次每人只能说一个或两个数，谁先抢到30，谁得胜），若将“抢30”换成“抢20”．下列说法正确的个数是（ ）
（1）“抢20”游戏不公平；
（2）第一个报数人一开始报“1”，就掌握获胜的主动权；
（3）第一个报数人，一定能抢到20；
（4）第二个报数人，一定能抢到20．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（ ）
A．1场 B．2场 C．3场 D．4场
3．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
4．某学生在暑假期间观察了x天的天气情况，其结果是：①共有7天上午是晴天；②共有5天下午是晴天；③共下了8次雨；④下午下雨的那天，上午是晴天．则x=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分∠FEB，∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．用反证法证明，“在中，、对边是a、b．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
7．已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD=CD；②D到AB、BC的距离相等；③D到△ABC的三边的距离相等；④点D在∠B的平分线上；其中正确的说法的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8．某班选举班干部，全班有40名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，40．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．
如果令
其中i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，40．则a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a40，1a40，2表示的实际意义是（　　）
A．同意第1号或者第2号同学当选的人数
B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数
C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数
D．不同意第1号和第2号同学当选的人数
9．甲、乙、丙、丁与小亮五位同学一起比赛围棋，到现在为止，甲已经赛了四盘，乙赛了三盘，丙赛了两盘，丁赛了一盘，则小亮赛了的盘数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0
10．在一次400米比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
　　∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
12．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ．
①只有一个号码正确且位置正确
②只有两个号码正确且位置都不正确
③三个号码都不正确
13．如图，在中，点是边上一点，，，，则的度数为 .
14．角平分线上的点到 距离相等
15．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是 .(只填序号)
三、解答题
16．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
17．如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由．
18．先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？
（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
19．请阅读，完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且.
请证明：.
（2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度.
（3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度.
（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________.
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参考答案：
1．A
【详解】试题分析：因为两人都可以说1个数或2个数，所以，甲只要保证从第二次开始所说的数与乙的数的个数的和是3，第一次所说的数的个数是20除以3的余数，即可一定抢到20．
解：∵20÷3=6…2，
∴只要是第一个人先说2个数，然后保证下一次所说的数的个数与第二个人所说的数的个数的和是3，就一定能抢到20；
所以，游戏不公平，偏向第一个人；
故选A．
点评：本题考查了游戏的公平性，读懂题意，确定出甲从第二次开始保证与乙所说的数的个数的和是3是确定出第一次所说的数的关键．
2．C
【详解】试题分析：根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．
解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．
甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；
由此可知：
甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；
乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；
丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；
丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．
因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．
故选C．
点评：本题要首尾结合进行逐步推理．
3．B
【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．
故选择：
【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
4．C
【详解】试题分析：他们每天上午、下午各测一次，七次上午晴，五次下午晴，共下八次雨，所以共测了20次，所以这个学生工观察了10天．
解：由题意，知：这位学生每天测两次，总共测的次数为7+5+8=20；因此x=20÷2=10（天）．
故选C．
点评：解决本题的关键是得到学生观察天气的规律：每天上午、下午各测一次．
5．D
【分析】根据角平分线定义求出∠BEF，根据平行线的性质，得出∠2+∠BEF=180°，代入求出∠2即可．
【详解】∵EG平分∠FEB，∠1=50°，
∴∠BEF=2∠1=100°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BEF=180°，
∴∠2=80°，
故答案为80°．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质的应用，能得出∠2+∠BEF=180°是解此题的关键，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
6．D
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a故选：D．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．C
【详解】
如图，作DE⊥AB于点E，DG⊥AC于点G，DF⊥BC于点F，
∵DA平分∠EAC，DC平分∠ACF，
∴DE=DG，DG=DF，
∴DE=DG=DF，
∴点D在∠B的平分线上，
∴②、③、④正确；
只有当G是AC的中点时，AD=CD，
∴①错误.
故选C.
点睛：掌握角平分线定理与逆定理.
8．B
【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加．
【详解】第1，2，3，……，40名同学是否同意第1号同学当选依次由a1，1，a2，1，a3，1，…，a40，1来确定，
是否同意第2号同学当选依次由a1，2，a2，2，a3，2，…，a40，2来确定，
∴a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a40，1a40，2表示的实际意义是同时同意第1号和第2号同学当选的人数，
故选B．
【点睛】本题考查了推理应用题，题目比较新颖，是基础题．
9．B
【详解】试题分析：甲已赛了四盘，所以甲已与乙、丙、丁、小亮各赛了一盘；又因为丁赛了一盘，故丁在这场比赛中，已不可能和其他选手比赛；而乙赛了三盘，因此乙与甲、丙，小亮各赛了一盘；丙赛了两盘，即丙与甲，乙赛过，故小亮赛了两盘，如图所示．
解：小亮赛了的盘数是2盘
故应选B．
点评：此题主要考查学生的逻辑推理能力．
10．B
【分析】假设甲说的前半句话是正确的，可推出矛盾，然后可知甲说的后半句是正确的，从而推出第一名是谁．
【详解】解：假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一．
故选B．
【点睛】本题考查了推理与论证，此类题应从假设出发，经过推理，如果得到矛盾，则假设错误，再进一步推理即可．
11．互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD．
【详解】证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
【点睛】此题考查的知识点是平行线的判定，同角的余角相等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．520
【分析】根据题意分析分析推理即可，由①结合③可以确定第三位数字为0，由②，③可以确定前两个数为5,2，据此分析即可．
【详解】根据①，③可知正确的号码是0，位置是第三位，由②，③可知正确的号码是5,2，位置分别为第一位和第二位，所以正确的密码是520．
【点睛】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．
13．24°
【分析】设，可得，，在中，利用三角形内角和定理可求出x的值，继而可得答案.
【详解】设，则，
∵，
∴，
在中，有，
，
∴，
故答案为24°.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键.
14．角两边的
【详解】角平分线上的点到角两边的距离相等.
故答案为角两边的.
15．①②⑤
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可
【详解】解：①∵∠1=∠B，∴AB//CD，故本小题正确；
②∵∠2=∠5，∴AB//CD，故本小题正确；
③∵∠3=∠4，∴AD//BC，故本小题错误；
④∵∠1=∠D，∴AD//BC，故本小题错误；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，故本小题正确．
故答案为①②⑤．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
16．∠ACB不随点A，B的移动发生变化
【详解】试题分析：∠ACB不随点A，B的移动发生变化，根据角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形的内角和定理解决即可.
试题解析：
∠ACB不随点A，B的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，
∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC＝∠BAO.
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝ (∠DBO－∠BAO)＝∠AOB＝45°.
点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形内角与外角的关系，解决这类问题时三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
17．AE∥DC，理由详见解析.
【分析】判断两直线的位置关系，通过角与角的数量关系，从而证明直线平行
【详解】解：AE∥DC.理由：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠AED，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠AED，
∴AE∥DC
【点睛】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
18．（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行
【详解】试题分析： 在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可；
用直尺直接量出两线段的长度，比较即可；
测量的度数，若 则
试题解析：观察可能得出的结论是：
(1)中的实线是弯曲的；
(2)a更长一些；
(3)AB与CD不平行．
用科学的方法验证可发现：
(1)中的实线是直的；
(2)a与b一样长；
(3)AB与CD平行．
19．（1）见解析;（2）DM，90°;（3）EM，108°;（4）见解析.
【分析】①以正n边形的性质（即各边相等，各内角相等）为切入点，构造与 全等的三角形；②通过对正三角形的探究与分析，得到正n边形的一般性结论，即所探究的角恰好等于正n边形的内角.
【详解】解 （1）证明：∵是正三角形，∴，.在和中，，∴.∴.又∵，∴.又∵，∴.
（2）在正方形中，，.
（3）在正五边形中，，.
（4）所连结的两条线段相等，所求的角恰好等于正边形的内角.
【点睛】本题以正多边形为背景，以正三角形ABC为切入点，通过对问题的类比、改造、延伸和拓展来检测分析问题、解决问题的能力.启示我们学习数学要在“做数学”，而不是“背数学”.
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