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第五单元第4讲 复数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：复数的概念
题型二：复数的四则运算
题型三：复数的几何意义
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【讲方法】
1.解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2.复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
二、【练】
【练题型】
【题型一】复数的概念
【典例1】如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝(　　)
A.－2 B.1 C.2 D.4
【典例2】(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
【典例3】(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
【题型二】复数的四则运算
【典例1】(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
【典例2】在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
【典例3】若z＝，则|z|＝________；z＋＝________.
【题型三】复数的几何意义
【典例1】设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【典例2】如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
【典例3】设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是(　　)
A．3 B．2
C．1＋2 D．4
【练真题】
【真题1】(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
【真题2】(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
【真题3】(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
【真题4】(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
【真题5】(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
【真题6】(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
2. 如图，已知复数z在复平面内对应的向量为，O为坐标原点，则|z|为(　　)
A．1 B．
C. D．2
3. 已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为(　　)
A.＋i B．－i
C.＋i D．－i
4. 已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)
A．－7 B．7
C．－4 D．4
【多选题】
5. 在复平面内，下列命题是真命题的是(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
6. 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，z2＋|z|＝0且|z|≠0，则(　　)
A．|z|＝1 B．z＝1－i
C．z＝±i D．z＝1
【填空题】
7. 已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．
8. 已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
9. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
10. 设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是________．
11. 若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
【测能力】
【单选题】
1. 设z为复数，则下列命题中不正确的是(　　)
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
2. 若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩ RB为(　　)
A．
B．{0}
C．{x|－2D．{x|－23. 计算2 024＋2 024等于(　　)
A．－2i B．0 C．2i D．2
4. 已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为(　　)
A．1 B.－1 C. D.＋1
【多选题】
5. 欧拉公式exi＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A．复数e2i对应的点位于第二象限
B．为纯虚数
C．复数的模长等于
D．的共轭复数为－i
6. 下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝2，则z·＝4
B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
【填空题】
7. 已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
8. 已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________.
9. 已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________．
10. 在数学中，记表达式ad－bc是由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
11. 在复数列{an}中，已知a1＝－i，an＝a＋i(n≥2，n∈N*)，则＝________．
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第五单元第4讲 复数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：复数的概念
题型二：复数的四则运算
题型三：复数的几何意义
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【讲方法】
1.解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2.复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
二、【练】
【练题型】
【题型一】复数的概念
【典例1】如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝(　　)
A.－2 B.1 C.2 D.4
【解析】＝＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选A.
【典例2】(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
【解析】z＝＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z的共轭复数为1＋i，错误.
故选ABC.
【典例3】(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，则＝，
即a＋b＝a＋b，
所以z1·1＝a＋b＝a＋b＝z2·2，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，
所以z＝z为假.
故选ABC.
【题型二】复数的四则运算
【典例1】(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
【解析】由|i|＝|1|，知A错误；
z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；
|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，
又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，
令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误．
故选BC.
【典例2】在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
【解析】依题意知，＝z1z4－z2z3，
因为z3＝2，
且z2＝＝＝，
所以z2z3＝|z2|2＝，
因此有(1＋i)z4－＝－i，
即(1＋i)z4＝3－i，
故z4＝＝＝1－2i.
所以z4的虚部是－2.
【典例3】若z＝，则|z|＝________；z＋＝________.
【解析】z＝＝＝，
|z|＝＝，
z＋＝－i＋＋i＝1.
【题型三】复数的几何意义
【典例1】设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】＝＝－i，则复数对应的点为，在第四象限，
故选D.
【典例2】如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
【解析】由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
故选D.
【典例3】设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是(　　)
A．3 B．2
C．1＋2 D．4
【解析】|z|＝1表示单位圆上的点，那么|z＋2＋i|表示单位圆上的点到点(－2，－1)的距离，求最大值转化为点(－2，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－2，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.
故选D.
【练真题】
【真题1】(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
【解析】因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.
故选C.
【真题2】(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
【解析】z＝＝＝＝－1＋i.
故选B.
【真题3】(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
【解析】因为z＝2－i，
所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
故选C.
【真题4】(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
【解析】因为＝＝＝－i，
所以z＝i.
故选D.
【真题5】(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
【解析】方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
故选D.
【真题6】(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
【解析】∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.
故选C.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
【解析】z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(2＋a)i，因为z∈R，所以2＋a＝0，即a＝－2，故选D.
2. 如图，已知复数z在复平面内对应的向量为，O为坐标原点，则|z|为(　　)
A．1 B．
C. D．2
【解析】因为向量＝(1，1)，所以复数z对应的点为(1，1)，所以|z|＝＝，故选B.
3. 已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为(　　)
A.＋i B．－i
C.＋i D．－i
【解析】由题意知z＝＝＝＋i，所以＝－i，
故选B.
4. 已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)
A．－7 B．7
C．－4 D．4
【解析】因为＝1＋＋＝－3－4i，
所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
所以a＋b＝－7，
故选A.
【多选题】
5. 在复平面内，下列命题是真命题的是(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
【解析】A．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，若∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A为真命题；
B．若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z R，故B为假命题；
C．若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故C为假命题；
D．若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题．
故选AD.
6. 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，z2＋|z|＝0且|z|≠0，则(　　)
A．|z|＝1 B．z＝1－i
C．z＝±i D．z＝1
【解析】由z2＋|z|＝0且|z|≠0，得|z|＝－z2，|z|＝|z2|，故|z|＝1，即x2＋y2＝1.所以x2－y2＋2xyi＋＝0，故当x＝0时，y2＝1，则y＝±1，所以z＝±i；当y＝0时，无解．
故选ACD.
【填空题】
7. 已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．
【解析】z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
8. 已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
【解析】因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以＝＝＝＝－1＋5i.因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，则|z|＝.
9. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
【解析】(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2.
10. 设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是________．
【解析】∵向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
∴＝(2，－3)，＝(－3,2)，
∴＝－＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
11. 若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
【解析】因为＝＝b－ai(a，b∈R)，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，所以由题意得b＝3，a＝－4.
【测能力】
【单选题】
1. 设z为复数，则下列命题中不正确的是(　　)
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
【解析】对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
∴|z|2＝a2＋b2，而z·＝a2＋b2，
所以|z|2＝z·成立；
对于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于C，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；
对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选B.
2. 若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩ RB为(　　)
A．
B．{0}
C．{x|－2D．{x|－2【解析】由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci 解得因此A＝{x|－2故选D.
3. 计算2 024＋2 024等于(　　)
A．－2i B．0 C．2i D．2
【解析】∵＝＝＝i，
∴＝＝－i，
∴2 024＋2 024
＝i2 024＋(－i)2 024
＝1+1＝2.
故选D.
4. 已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为(　　)
A．1 B.－1 C. D.＋1
【解析】令z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，
∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，
∴|z|的最小值为－1.
故选B.
【多选题】
5. 欧拉公式exi＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A．复数e2i对应的点位于第二象限
B．为纯虚数
C．复数的模长等于
D．的共轭复数为－i
【解析】对于A，e2i＝cos 2＋isin 2，
因为<2<π，
即cos 2<0，sin 2>0，复数e2i对应的点位于第二象限，A正确；
对于B，＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，B正确；
对于C，＝
＝
＝＋i，
于是得＝＝，
C正确；
对于D，＝cos ＋isin ＝＋i，
其共轭复数为－i，D不正确．
故选ABC.
6. 下列说法正确的是(　　)
A．若|z|＝2，则z·＝4
B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
【解析】若|z|＝2，则z·＝|z|2＝4，故A正确；
设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，
z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，
由|z1＋z2|＝|z1－z2|，
可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2
＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2
则a1a2＋b1b2＝0，
而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝a1a2－b1b2＋a1b2i＋b1a2i
＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误；
当z＝1－i时，z2＝－2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；
若复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数，
则a2－1≠0，即a≠±1，
所以“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确．
故选AD.
【填空题】
7. 已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
【解析】设z＝a＋bi，
则＝.
因为为纯虚数，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.
所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|
＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|
＝
＝
＝.
当a＝－时，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值为.
8. 已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________.
【解析】复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2，0)，半径为1的圆，
则表示圆上的点与原点连线的斜率，
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为
y＝kx，则
消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
解得k＝－或k＝，
由题意得的取值范围是.
9. 已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________．
【解析】复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2,0)，半径为1的圆，
则表示圆上的点与原点连线的斜率，
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为y＝kx，则
消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
解得k＝－或k＝，
由题意得的取值范围是.
10. 在数学中，记表达式ad－bc是由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
【解析】根据题意有＝z1z4－z2z3，
因为z3＝2，z2＝，
所以z2z3＝z22＝，
因此有(1＋i)z4－＝－i，
即(1＋i)z4＝3－i，
整理得z4＝＝＝1－2i.
所以z4的虚部是－2.
11. 在复数列{an}中，已知a1＝－i，an＝a＋i(n≥2，n∈N*)，则＝________．
【解析】因为a1＝－i，所以
a2＝a＋i＝(－i)2＋i＝i－1；
a3＝(i－1)2＋i＝－i；
a4＝(－i)2＋i＝i－1；
a5＝(i－1)2＋i＝－i；
…
a2 019＝－i；
a2 020＝i－1.
则＝＝＝－＋.
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