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第五单元第3讲 平面向量的数量积及其应用
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：数量积的计算
题型二：向量的模
题型三：求两平面向量的夹角
题型四：两平面向量垂直问题
题型五：向量数量积的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
【讲方法】
1.求解平面向量模的方法
①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
2.求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
3.向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法．
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法．
适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用．
3.用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
二、【练】
【练题型】
【题型一】数量积的计算
【典例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
【典例2】已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为________.
【典例3】(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝，则||＝__________；·＝__________.
【题型二】向量的模
【典例1】已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.
【典例2】若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取值范围为________.
【典例3】设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
【题型三】求两平面向量的夹角
【典例1】已知向量＝(x，1)(x＞0)，＝(1，2)，||＝，则，的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
【典例2】已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【典例3】已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
【题型四】两平面向量垂直问题
【典例1】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【典例2】(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【典例3】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A. B. C.6 D.
【题型五】向量数量积的综合应用
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【典例2】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
【练真题】
【真题1】(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
【真题2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
【真题3】(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
【真题4】(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
【真题5】(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
【真题6】(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A．－　　　　 　　　　 B．－
C. D．
2. 在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)
A. B．
C. D．
3. 若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A. B．2
C. D．
4. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
【多选题】
5. 已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则(　　)
A．a∥b B．(a＋b)·a＝－5
C．b⊥(a－b) D．2|a|＝|b|
6. 已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)
A.在方向上的投影长为－
B.·＝·
C.在方向上的投影长为
D.·＝·
【填空题】
7. 已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
8. 已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．
【解答题】
9. 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
11. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
【测能力】
【单选题】
1. 已知点O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B．3 C．1 D．2
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)
A．－ B．0 C．4 D．－1
3. 圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·等于(　　)
A．12 B．－12
C．20 D．－20
4. 在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【多选题】
5. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)
A.·＝－1
B.＋＝0
C．|＋＋|＝
D.在方向上的投影为
6. 定义一种向量运算“ ”：a b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是(　　)
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)
C．(a＋b) c＝a c＋b c
D．若e是单位向量，则|a e|≤|a|＋1
【填空题】
7. 已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为________.
8. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
【解答题】
9. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
10. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
11. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
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第五单元第3讲 平面向量的数量积及其应用
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：数量积的计算
题型二：向量的模
题型三：求两平面向量的夹角
题型四：两平面向量垂直问题
题型五：向量数量积的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
【讲方法】
1.求解平面向量模的方法
①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
2.求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
3.向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法．
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法．
适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用．
3.用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
二、【练】
【练题型】
【题型一】数量积的计算
【典例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
【解析】如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.
则·＝(－)·(＋)
＝·＋·－2－·
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
【典例2】已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为________.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则B，C(0，t)，
＝，＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，
·＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13，
当且仅当t＝时等号成立.
∴·的最大值等于13.
【典例3】(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝，则||＝__________；·＝__________.
【解析】法一　∵＝(＋)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴||＝＝.
易得＝(0，－1)，＝(－2，1).
∴·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二　如图，在正方形ABCD中，由＝(＋)得点P为BC的中点，
∴||＝＝.
·＝·(＋)＝·＋·＝－2＋0＝－1.
【题型二】向量的模
【典例1】已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.
【解析】因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×＝12，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，
(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108，
所以|a＋b|＝2，|a－3b|＝6.
【典例2】若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取值范围为________.
【解析】设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cos α，因为α∈[0，π]，所以0≤8－8cos α≤16，所以0≤|2a－b|≤4.
【典例3】设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是________．
【解析】向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝＝.
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[，5]．
【题型三】求两平面向量的夹角
【典例1】已知向量＝(x，1)(x＞0)，＝(1，2)，||＝，则，的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】因为＝－＝(1－x，1)，
所以||2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设，的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝.
故选C.
【典例2】已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cos α＝，∵α∈[0，π]，
∴α＝.
故选B.
【典例3】已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
【解析】法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－.
法二：因为2＝，所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－.
【题型四】两平面向量垂直问题
【典例1】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【典例2】(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；
对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|，则cos θ＝－1，
则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，
则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝λ|a|2，由于λ不能等于0，
因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，
所以D不正确．
故选ABD.
【典例3】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A. B. C.6 D.
【解析】因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.
故选A.
【题型五】向量数量积的综合应用
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【解析】(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
【典例2】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而∠C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
【练真题】
【真题1】(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
【解析】法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，
∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.
【真题2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
【解析】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以·＝(x，y)·(2，0)
＝2x∈(－2，6).
故选A.
【真题3】(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
故选D.
【真题4】(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
【解析】由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|2＝18，|b|＝3.
【真题5】(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
【解析】由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
【真题6】(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【解析】因为＝－＝(1，t－3)，
所以||＝＝1，
解得t＝3，
所以＝(1,0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.
故选C.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A．－　　　　 　　　　 B．－
C. D．
【解析】c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.
故选A.
2. 在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)
A. B．
C. D．
【解析】方法一：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即∠BAC＝90°.所以·＝·＝·(＋)＝2＋2＝，故选A.
方法二：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即⊥，以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，E(，)，F(，)，所以·＝(，)·(，)＝＋＝.
故选A.
3. 若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A. B．2
C. D．
【解析】由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.
故选C.
4. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
【解析】设c与a－2b的夹角为θ.因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝3，所以|a－2b|＝，所以(c＋a)·(c－2b)＝c2＋c·(a－2b)－2a·b＝1＋|c||a－2b|cos θ－1＝cos θ，所以(c＋a)·(c－2b)的最大值为，此时cos θ＝1.
故选B.
【多选题】
5. 已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则(　　)
A．a∥b B．(a＋b)·a＝－5
C．b⊥(a－b) D．2|a|＝|b|
【解析】因为1×4＝－2×(－2)，所以a∥b，又a＋b＝(－1，2)，所以(a＋b)·a＝－5.a－b＝(3，－6)，b·(a－b)≠0，所以C错误，|a|＝，|b|＝2，2|a|＝|b|.
故选ABD.
6. 已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)
A.在方向上的投影长为－
B.·＝·
C.在方向上的投影长为
D.·＝·
【解析】由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B，D正确．
故选BCD.
【填空题】
7. 已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
【解析】由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
8. 已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．
【解析】依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝
＝＝4.
【解答题】
9. 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
【解析】(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解析】(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
11. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
【测能力】
【单选题】
1. 已知点O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B．3 C．1 D．2
【解析】由·＝2，∠BAC＝60°，
可得·＝||||cos∠BAC
＝||||＝2，
所以||||＝4，
所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，
又＋＋＝0，
所以O为△ABC的重心，
所以S△OBC＝S△ABC＝1.
故选C.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)
A．－ B．0 C．4 D．－1
【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,2)，D(2,0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为P点在边AC的中线BD上，所以可设P(t,2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t,2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t·(2－t)＝2t2－2t＝22－，当t＝时，·取得最小值－.
故选A.
3. 圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·等于(　　)
A．12 B．－12
C．20 D．－20
【解析】如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
∴·＝(＋)·
＝·＋·
＝||||cos∠BDA－||||cos∠BDC
＝||2－||2＝4－16＝－12.
故选B.
4. 在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【解析】，分别为与，方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量＋所在的直线为∠BAC的平分线．
因为·＝0，
所以∠BAC的平分线垂直于BC，
所以AB＝AC.
又·＝·cos∠BAC
＝，
所以cos∠BAC＝，∠BAC＝60°.
所以△ABC为等边三角形．
故选A.
【多选题】
5. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)
A.·＝－1
B.＋＝0
C．|＋＋|＝
D.在方向上的投影为
【解析】由题意知E为AB的中点，则CE⊥AB，以E为原点，EA，EC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝，
因为∥，所以y－＝－y，解得y＝，
即O是CE的中点，则＋＝0，所以选项B正确；
|＋＋|＝|2＋|＝||＝，所以选项C正确；
因为CE⊥AB，所以·＝0，所以选项A错误；
＝，＝(1，)．
故在方向上的投影为＝＝，所以选项D正确．
故选BCD.
6. 定义一种向量运算“ ”：a b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是(　　)
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)
C．(a＋b) c＝a c＋b c
D．若e是单位向量，则|a e|≤|a|＋1
【解析】当a，b共线时，a b＝|a－b|＝|b－a|＝b a，当a，b不共线时，a b＝a·b＝b·a＝b a，故A正确；
当λ＝0，b≠0时，λ(a b)＝0，(λa) b＝|0－b|≠0，故B错误；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b) c＝|a＋b－c|，a c＋b c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；
当e与a不共线时，|a e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确．
故选AD.
【填空题】
7. 已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为________.
【解析】以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，由于BC＝2，AD＝1.
∴C(2，0)，D(1，a).
则＝(2，－b)，＝(1，a－b)，
∴＋＝(3，a－2b).
因此|＋|＝，
∴当且仅当a＝2b时，|＋|取得最小值3.
8. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
【解析】设BE＝x，x∈，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，
DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2＋|＝1，
∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋，
∴当x＝时，(＋)·的最小值为.
【解答题】
9. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
【解析】(1)m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C,0所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，
又因为C∈(0，π)，故C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，
可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，
所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.
10. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
【解析】(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，
由题意知C，所以＋＝，
所以|＋|2＝2＋，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，
所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
11. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
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