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第五单元第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：平面向量基本定理的应用
题型二：平面向量的坐标运算
题型三：利用向量共线求参数
题型四：利用向量共线求向量或点的坐标
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
【讲方法】
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
3.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
4.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
5.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
二、【练】
【练题型】
【题型一】平面向量基本定理的应用
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于(　　)
A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以＝＋＝a＋b.
故选C.
【典例2】如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
【解析】方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，
则＝＋，
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以||＝2，||＝4，
所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.
【典例3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
【解析】由题图可设＝x(0则＝x(＋)＝x
＝＋x.
因为＝λ＋μ，与不共线，
所以λ＝，μ＝x，所以＝.
【题型二】平面向量的坐标运算
【典例1】在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝.
故选C.
【典例2】向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，
∴＝＝4.
故选D.
【典例3】如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
【解析】以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A(1，0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，
B(cos 120°，sin 120°).
即A(1，0)，C(3，)，B.
由＝λ＋μ得，
∴∴λ＋μ＝6.
【题型三】利用向量共线求参数
【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．
【解析】∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x,2)，
又∵a－b与b共线，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，
∴x＝－2.
【典例2】已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以，解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A、B、C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.
【题型四】利用向量共线求向量或点的坐标
【典例1】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
【解析】(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，
则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
【练真题】
【真题1】(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
【解析】由题意得2a＋b＝(4,2)，
因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，
所以4λ－2＝0，即λ＝.
【真题2】(多选)(2021·威海调研)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
【解析】∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.
故选AB.
【真题3】(2022·岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　)
A.4 B.
C. D.2
【解析】根据题意，设AB边的中点为D，
因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.
由AB的中点为D，得＋＝2，
又由＋＋2＝0，得＝－，则O是CD的中点，又△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，
所以S△AOB＝×4×＝2.
故选D.
【真题4】(2022·衡水质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由m∥n，
得bcos B－acos A＝0，
即sin Bcos B＝sin Acos A，
所以sin 2B＝sin 2A，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形；
反之，△ABC是等腰三角形，若a＝c≠b，
则不能得到m∥n，
所以“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
故选D.
2. 如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　)
A.b－a 　　 B.a－b
C.a－b 　　 D.b－a
【解析】＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.
故选D.
3. 设向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
【解析】向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.当m＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2,2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意.
故选A.
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．2 B. C．2 D．4
【解析】因为|OC|＝2，∠AOC＝，C为第一象限内一点，
所以C(，)，
又＝λ＋μ，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
故选A.
【多选题】
5. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
【解析】＝＋＝＋＝a＋b，
故A正确；
＝＋＋＝－＋＋
＝－a＋b，故B正确；
＝＋＝－＋＝－a＋b，
故C错误；
＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故D正确．
故选ABD.
6. 已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
【解析】各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．
故选ABD.
【填空题】
7. 在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．
【解析】因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，所以＝，
所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.
8. 已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.
【解析】设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故||＝＝.
【解答题】
9. 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．
10. 已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
【解析】(1)因为＝2，所以＝，
所以＝(－)＝－，
又因为＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，
又因为＝m＋，所以＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
11. 如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
【解析】(1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
【测能力】
【单选题】
1. 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
【解析】如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又＝(1，0)，＝(0，2)，则＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝.
P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.
故选A.
2. 已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sin B－sin A，a＋c)，n＝(sin C，a＋b)，且m∥n，则B的大小是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为m∥n，
所以(a＋b)(sin B－sin A)＝sin C(a＋c)．
由正弦定理得(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得
cos B＝＝＝－.
又0故选B.
3. 已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则等于(　　)
A. B. C．3 D．2
【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
故选A.
4. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．2
【解析】因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
故选B.
【多选题】
5. 已知向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
【解析】因为e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，所以向量a＝λ1e1＋λ2e2＝(－λ1，2λ1)＋(2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2)．若a＝(1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足λ1λ2<0，所以A符合题意．若a＝(0，1)，则2λ2－λ1＝0，不满足λ1λ2<0，所以B不符合题意．若a＝(－1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足λ1λ2<0，所以C符合题意．若a＝(0，－1)，则2λ2－λ1＝0，不满足λ1λ2<0，所以D不符合题意．
故选AC.
6. 在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　)
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
【解析】因为D为AC上一点且满足＝，所以＝4，因为＝λ＋μ，
所以＝λ＋4μ，
因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，
当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ的最大值为，故A错误，B正确；
＋＝(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，
故＋的最小值为4，故C错误，D正确.
故选BD.
【填空题】
7. 若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．
【解析】因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
8. 已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________．
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，
所以消去λ得x＋y－2＝0.
【解答题】
9. 如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，求证：＋是定值．
【解析】(1)解　＝＋
＝＋λ
＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ.
(2)证明　由(1)得＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy，
因为G是△OAB的重心，
所以＝＝×(＋)
＝＋.
又，不共线，
所以
解得
所以＋＝3，即＋为定值．
10. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
【解析】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为
，，
∴＝，＝.
又＝m＋n，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.
11. 已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
【解析】(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.
(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，
因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.
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讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：平面向量基本定理的应用
题型二：平面向量的坐标运算
题型三：利用向量共线求参数
题型四：利用向量共线求向量或点的坐标
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
【讲方法】
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
3.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
4.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
5.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
二、【练】
【练题型】
【题型一】平面向量基本定理的应用
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于(　　)
A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
【典例2】如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
【典例3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
【题型二】平面向量的坐标运算
【典例1】在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【典例2】向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【典例3】如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
【题型三】利用向量共线求参数
【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．
【典例2】已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【题型四】利用向量共线求向量或点的坐标
【典例1】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
【练真题】
【真题1】(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
【真题2】(多选)(2021·威海调研)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
【真题3】(2022·岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　)
A.4 B.
C. D.2
【真题4】(2022·衡水质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2. 如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　)
A.b－a 　　 B.a－b
C.a－b 　　 D.b－a
3. 设向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．2 B. C．2 D．4
【多选题】
5. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
6. 已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
【填空题】
7. 在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．
8. 已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.
【解答题】
9. 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
10. 已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
11. 如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
【测能力】
【单选题】
1. 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
2. 已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sin B－sin A，a＋c)，n＝(sin C，a＋b)，且m∥n，则B的大小是(　　)
A. B.
C. D.
3. 已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则等于(　　)
A. B. C．3 D．2
4. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．2
【多选题】
5. 已知向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
6. 在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　)
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
【填空题】
7. 若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．
8. 已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________．
【解答题】
9. 如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，求证：＋是定值．
10. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
11. 已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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