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本册过关检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线2x＋y－1＝0的一个方向向量是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(1，－2) B．(2，－1) C．(－1，－2) D．(－2，－1)
2．抛物线x2＝y的焦点坐标是(　　)
A． B. C. D.
3．若点P(3，1)到直线l：3x＋4y＋a＝0(a>0)的距离为3，则a＝(　　)
A．3 B．2 C． D．1
4．在正数等比数列中，若a2＝，a4＝，则该数列的前10项和为(　　)
A．2－ B．2－ C．2－ D．2－
5．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a3＋a5＋a7的值是(　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．1
6．无穷等差数列{an}的首项a1>0，公差d<0，{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．Sn单调递减 B. Sn单调递增
C．Sn有最大值 D. Sn有最小值
7．2022年冬奥会，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有(　　)
A．90种 B．125种 C．150种 D．243种
8．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以双曲线C的右焦点F为圆心、半径为2的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B. 2 C. D. 3
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．在的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A．常数项是20 B．第4项的二项式系数最大
C．第3项是15x2 D．所有项的系数的和为0
10．已知双曲线W：－＝1，(　　)
A．m∈(－2，－1)
B．若W的顶点坐标为(0，±)，则m＝－3
C．W的焦点坐标为(±1，0)
D．若m＝0，则W的渐近线方程为x±y＝0
11．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12．等比数列{an}中，a1<0，公比0A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对 n>2，n∈N＋，SnC．数列{an}是递增数列
D．数列{lg (－an)}是首项和公差都小于0的等差数列
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2－2n，则数列{an}的通项公式an＝________．
14．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有 ________种不同的选法．(用数字作答)
15．一动圆截直线3x－y＝0和3x＋y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为________．
16．若A，B分别是椭圆E：x2＋＝1，(m>1)短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为－，则m＝________，椭圆的离心率为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在①对任意n>1满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)；②Sn＋1－2＝Sn＋an；③Sn＝nan＋1－n(n＋1).这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，________，若数列{an}是等差数列，求出数列{an}的通项公式；若数列{an}不是等差数列，说明理由．
18．(本小题满分12分)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；
(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．
19．(本小题满分12分)已知圆C的方程为x2－2x＋y2－3＝0.
(1)求过点(3，2)且与圆C相切的直线方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C相交于A、B，求弦长|AB|的值．
20．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N(t，1)在抛物线C上，且|NF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M(0，1)的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
21．(本小题满分12分)设数列{an}是等差数列，数列{bn}是公比大于0的等比数列，已知a1＝1，b1＝3，b2＝3a3，b3＝12a2＋3.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝，求数列{ancn}的前n项和Tn.
22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(1，)，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足k1·k2＝－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．
参考答案与解析
1．解析：直线2x＋y－1＝0的斜率k＝－2，
所以直线2x＋y－1＝0的一个方向向量是(1，－2).
答案：A
2．解析：因为x2＝y，所以x2＝2··y，
所以p＝，所以焦点坐标为.
答案：D
3．解析：由题设可得d＝＝3，结合a>0可得a＝2，故选B.
答案：B
4．解析：设等比数列的公比为q，
∵a4＝a2q2，∴＝×q2，
∵q>0，∴q＝.
∵a2＝a1q，∴a1＝1，
∴S10＝＝＝2－.
答案：B
5．解析：令x＝0，a0＝1，令x＝1，(1＋1)(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，令x＝－1得
(1－1)(1＋2)7＝a0－a1＋a2－a3…＋a8＝0整理得，
两式作差得 2＝－2，a1＋a3＋a5＋a7＝－1.
答案：A
6．解析：∵无穷等差数列{an}的首项a1>0，公差d<0，
∴{an}是递减数列，且先正值，后负值；
∴{an}的前n项和为Sn先增加，后减小；
∴Sn有最大值．
答案：C
7．解析：把5名同学分为3组，各组人数可为3，1，1或2，2，1.
各组人数为3，1，1时，有C·A＝60种；
各组人数为2，2，1时，有·A＝90种；
故不同的安排方法共有60＋90＝150种．
答案：C
8．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以A(a，b)或A(a，－b)，因此|AF|＝c＝2，
则可得＝2，整理可得：a2＋b2－4a＝0，因为a2＋b2＝c2＝4，解得a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝2.
答案：B
9．解析：(－x)6的二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()6－r·(－x)r＝C·x2r－6·(－1)r，
对于A，当2r－6＝0，即r＝3时，常数项为T4＝C·(－1)3＝－20，故选项A错误；
对于B，第4项的二项式系数为C是最大的，故选项B正确；
对于C，第3项是T3＝C·x－2·(－1)2＝15x－2，故选项C错误；
对于D，令x＝1，则(－x)6＝(1－1)6＝0，故所有项的系数的和为0，故选项D正确．
答案：BD
10．解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(1＋m)>0，解得m>－1或m<－2，A错误；
因为W的顶点坐标为(0，±)，
所以－m－1＝()2，解得m＝－3，B正确；
当m>－1时，c2＝(2＋m)＋(m＋1)＝2m＋3，
当m<－2时，c2＝－(2＋m)－(m＋1)＝－2m－3，C错误；
当m＝0时，双曲线W的标准方程为－y2＝1，
则渐近线方程为x±y＝0，D正确．
答案：BD
11．解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2所以d＝>|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝<|r|，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．
答案：ABD
12．解析：由＝q2可知A对；
由a1<0，公比0∴当n>2，n∈N＋时，Sn＝a1＋a2＋…＋an由a1<0，公比0∵－an与1无法比较大小，
∴数列{lg (－an)}的首项无法和0比较，故D错．
答案：ABC
13．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)，
∴an＝Sn－Sn－1＝6n－5，
a1＝1也满足上式，
∴an＝6n－5.
答案：6n－5
14．解析：根据题意，分2种情况讨论：
①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有C＝15种选法，
②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有CC＝15种选法，
则共有15＋15＝30种选法．
答案：30
15．解析：如图所示：
设点M(x，y)，由条件可得，AB＝4，EC＝2，
由点到直线的距离公式可得，|MA|2＝，|MC|2＝，
由垂径定理可得：|MA|2＋|AB|2＝|MC|2＋|EC|2，
∴＋16＝＋4，化简可得，xy＝10，
∴点M的轨迹方程为xy＝10.
答案：xy＝10
16．解析：设直线AP、BP的方程为y＝kAP(x－1)，y＝kBP(x＋1)，点P(x0，y0)，kAP＝，kBP＝，
则kAP·kBP＝＝－①，
又点P在椭圆E：x2＋＝1上，x－1＝－②，
由①②得，m2＝4，∵m＞1，
∴m＝2.即离心率e＝＝＝.
答案：2　
17．解析：若选择条件①：
因为对任意n>1，n∈N＋，
满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，即an＋1－an＝2，
因为无法确定a1的值，所以a2－a1不一定等于2，
所以数列{an}不一定是等差数列．
若选择条件②：
由Sn＋1－2＝Sn＋an，
则Sn＋1－Sn－an＝2，即an＋1－an＝2，n∈N＋，
又因为a2＝4，所以a1＝2，
所以数列是等差数列，公差为2，
因此数列的通项公式为an＝2n.
若选择条件③：
因为Sn＝nan＋1－n(n＋1)，
所以Sn－1＝(n－1)an－(n－1)n(n≥2，n∈N＋)，
两式相减得，an＝nan＋1－(n－1)an－2n，(n≥2)，
即an＋1－an＝2(n≥2)，
又S1＝a2－2，即a2－a1＝2，
所以an＋1－an＝2，n∈N＋，
又a2＝4，a2－a1＝2，所以a1＝2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以an＝2＋2(n－1)＝2n.
18．解析：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，
解方程组，解得，故直线l1恒过定点M(－1，－2)；
(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，
设直线l2的方程为y＋2＝k(x＋1)，
令x＝0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝－1，
由已知可得，解得k<0，
所以，三角形面积为S＝(2－k)＝≥＝4，
当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0.
19．解析：(1)由x2－2x＋y2－3＝0可得(x－1)2＋y2＝4，所以圆心为C(1，0)，半径r＝2，
①当直线斜率不存在时，由过点(3，2)得直线方程为x＝3，与C(1，0)的距离为2，此时与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0，
圆心C(1，0)到直线的距离＝r＝2，即|2－2k|＝2，解得k＝0.
所以直线方程为y＝2.
综上所述：所求直线方程为y＝2或x＝3.
(2)圆心C(1，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，
又因为半径r＝2，所以|AB|＝2＝2＝2.
20．解析：(1)∵点N(t，1)在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，
∴|NF|＝yN＋＝1＋＝，解得p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明：依题意，设直线l：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y可得x2－2kx－2＝0，
由韦达定理得x1x2＝－2，
∴k1k2＝·＝·＝－，
即k1k2为定值－.
21．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
由题意可得：，解得d＝1，q＝3，
故an＝1＋(n－1)＝n，bn＝3·3n－1＝3n.
(2)数列{cn}满足cn＝；
当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝；
当n≥5时，Tn＝T5＋a6b1＋a7b2＋…＋anbn－5
＝15＋6·31＋7·32＋…＋n·3n－5
令M＝6·31＋7·32＋…＋n·3n－5
则3M＝6·32＋…＋(n－1)·3n－5＋n·3n－4，
两式相减得，－2M＝6·31＋(32＋…＋3n－5)－n·3n－4
－2M＝18＋－n·3n－4，
整理得M＝－＋·3n－4，
所以Tn＝＋·3n－4，
综上，Tn＝.
22．解析：(1)设P(x0，y0)，则
k1k2＝·＝.
又＋＝1 y＝，所以k1k2＝－＝－.①
又由椭圆C过点得＋＝1，②
由①②得a＝2，b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)A(－2，0)，C(0，－1)，设直线PQ的方程为y＝kx(k>0)，则点A，C到直线P，Q的距离分别为
d1＝，d2＝.
又由得P，
所以|PQ|＝2|OP|＝.
四边形APQC的面积
S＝|PQ|(d1＋d2)＝＝2
＝2.
由＋4k∈[4，＋∞)得S∈(2，2].
故四边形APCQ面积的取值范围是(2，2].

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