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第一讲 全等三角形
知识要点
全等三角形的有关概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC≌△DEF。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC和△DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作△ABC≌△DEF。其中AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角。
规律方法小结：在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。
常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。
（1）平移型：如下左图，若△ABC≌△DEF，则BC=EF。将△DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。
（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1=∠2。
（3）翻折型：如上右图，两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边AB，图2中有公共角∠A。
知识延伸：熟悉这些基本图形，有利于我们寻找三角形全等的隐含条件，启发我们的证明思路。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
知识延伸：（1）全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据；
（2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。
规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；
（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。
典型例题
例1：若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到△ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。
规律·方法：全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应边时，直接按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的表示。
例2：如图，已知△ABD≌△ACE。试说明BE=CD，∠DCO=∠EBO。
规律·方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也分别相等。
例3：如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，并加以说明。
例4：如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A、150 B、200
C、250 D、300
例5：如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则求∠α的度数。
例6：如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。
例7：如图，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延长线交AC于点F，那么DF⊥AC吗？说明理由．
例8：如图，已知△ABE≌△ACD．且AB =AC，求证：
(1) ∠BAD= ∠CAE; (2)BD= CE.
反馈练习
1．如图，△ABC≌△DCB，若∠l与∠2是一组对 应角，则其他的对应角有 ， ，对应边有 ， ， 。
2．如图，△AB≌C△A′B′C′，且点B，B′，C，C′在同一直线上，则BB′=____；若∠A=80 ，则∠A′= ，∠B′DC= 。
3．如图，把△ABC沿直线BC翻折180 ，得到△DBC，则△ABC与△DBC的关系是 。
4．如图，把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△AED，那么△ABC △AED，其中对应边有 ， ， ，对应角有 ， ， 。
5．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70 ，∠C =25 ，则∠AEB= 。
6．如图，△ABD≌△ACD，AB=AC，则∠BAD=∠ ，BD= ，∠ADB= 度
7．如图，若△AB≌C△EDC，且∠B=58 ，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则∠E=
，BC= cm.
8．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE= 9cm,EF= 12cm，则AB= cm,BC=
___cm，AC= cm.
9．如图，直角△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论中错误的是( )
A.△ABC≌△DEF B.∠DEF= 90 C．AC =DF D．EC= CF
10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，AB =EF.其中正确的个数有( )
A.l个 B.2个 C．3个 D．4个
11．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB；③EF =BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是( )
A.l个 B.2个 C.3个 D.4个
如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的 点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则
∠C的度数 为( )
A．15 B．20
C．25 D．30
第二讲 全等三角形的判定（一）
知识要点
1、三角形全等的判定方法一：SSS
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
书写格式：
在△ABC和△A’B’C’中，
∵
∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）
规律方法小结：
（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。
（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。
典型例题
例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线.
求证：△ABD≌△ACD
例2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD =BC， AE =BF，CE= DF.求证:DF//CE.
例4.如图，已知△ABE≌△ACD，求证：∠l=∠2.
例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM= CN，BM= DN.求证：AM∥CN，BM∥DN．
例6. 已知：如图，四边形ABCD中，AB = CB，AD= CD，求证：∠A=∠C．
例7．如图所示，AB=AE．BC= ED，CF=FD．AC=AD，求证：∠BAF= ∠EAF.
（三）练习：
1．如图，若AB =AC，BD= CD，∠B =62 ，则∠BAC= 度．
2．如图，已知AB= CD，AD= CB，还有条件 ，可判定△ABC≌△CDA，其依据是 ．
3．如图，在△ABD和△ACE中，已知AB =AC，BD = CE，AD =AE，若∠l= 20 ，则∠2= ．
4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO= BO，CO =DO，AD= BC，则图中全等三角形有 对．
5．如图，已知AB=BC．AD=CD，∠ABC=80 ，∠ADC= 50 ，则∠A= ，∠C= ．
6．如图，已知AB =AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)△ABD≌△ACD；(2) ∠B=∠C;(3)AD
平分∠BAC; (4) AD⊥BC.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C.3个 D.4个
7．下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等．其中正确说法的个数是( )
A.4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．下列命题中正确的是( )
A．有两条边对应相等的两个三角形全等
B．两个等边三角形全等
C．两个等腰直角三角形全等
D．三边对应相等的两个三角形的对应角也相等，
9．如图，已知AB= AC，BD= CD．求证：∠l=∠2.
10.如图，在△ABC中，AB =AC，点D、E分别是BC的三等分点，且AD=AE.求证：△ABD≌△ACE.
第三讲 全等三角形的判定（二）
（一）知识要点
1、三角形全等的判定方法二：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
书写格式：
在△ABC和△A’B’C’中，
∵
∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）
知识延伸：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。
例1.如图所示，直线AD、BE相交于点C，AC=DC，BC=EC.
求证：AB=DE
例2：如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD=AE，AB=AC。求证：△ABD≌△ACE
规律·方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；
例3：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE的两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED。求证：AC=CD
例4．如图，已知AB =AC，AD =AE，∠1=∠2.求证：CE =BD．
例5： 如图，点E, F在BC上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C.
求证: ∠A=∠D
例6.如图，BE、CF分别是△ABC的高．P是BE上一点。且BP =AC，Q是CF延长线上一点，且CQ=AB，求证：AP⊥AQ.
（三）练习
1．如图，已知∠l=∠2，AD =AC，则△____≌△ ，其依据是 。
2．如图，∠l=∠2，AB =AC，AE=AD，则△ABD≌△ ，依据是 ，由此还可得BD= 。
3．如图，AC =AB，AD平分∠CAB，点E在AD上，则图中全等的三角形有____对，它们是
。
4．（天门）如图，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件：____
（只需写一个）．
5．小明为了测量池塘对岸A，B两点间的距离，作了如下的操作（如图）：①取一能够到达A，B两点的点D;②连接AD并延长AD于点E，使AD= ED．连接BD并延长BD至C，使BD= CD;③连接CE.那么要知道AB的长度，应测量线段 的长度．
6．如图，已知AD⊥BC于点D，BD=CD，点E在AD上；则图中全等三角形共有( )
A.l对 B.2对 C.3对 D.4对
7．如图有下列四个条件：①BC =B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB =A′B′其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是( )
A.l个 B。2个 C.3个 D.4个
8．下列命题中错误的是( )
A．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
9．下列条件中，可以判定△ABC和△A′B′C′全等的是( )
A.BC= BA,B′C′=B′A′，∠B=∠B′
B．∠A=∠B′，AC =A′B′，AB =B′C′
C. ∠A=∠A′,AB= B′C′,AC=A′C′
D.BC=B′C′,AC =A′B′,∠B=∠C′
10.如图，已知AB∥CD，AB= CD，BE =DF，则图中全等三角形的对数有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D.6对
11．如图，点A，E，B，D在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB= DE,AC =DF,AC∥DF.
(1)求证：△ABC≌△DEF;
(2)你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）．
12.如图13，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，求证：∠D=∠E.
第四讲 全等三角形的判定（三）
（一）知识要点
1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
书写格式：
在△ABC和△A’B’C’中，
∵
∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）
知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
书写格式：
在△ABC和△A’B’C’中，
∵
∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）
知识延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推论。
规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。
(二)例题讲解：
例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.
求证：AD=AE
例2.如图，AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.
求证：AB=AD
练习：如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，ACDE，FC与BE相等吗？请说明理由.
例3．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
例4：如图，已知△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的边BC和B’C’上的高。求证：AD=A’D’
例5．如图，点E在AC上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.
（三）练习
1．如图，已知AB= DC，AD =BC，E，F是DB上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100 ，∠ADB=
30 ．则∠BCF= 。
2．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，∠1=∠2，则图中的全等三角形共有 对．
3．如图，AC与BD相交于点O，∠1=∠4，∠2=∠3．△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为
17cm，则AB= .
4．（海南）在△ABC和△中，AB =AB，∠A= ∠A，要使△ABC≌△ABC，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
5．如图，∠E =F=∠90 ．∠B= ∠C，AE= AF.给出下列结论：①∠l=∠2；②BE= CF;③△ACN
≌△ABM；④CD= DN.其中正确的结论是____（注：将你认为正确的结论都填上）．
6．下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C.3个 D.4个
7．如图，在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，要使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )
8．下列条件中，能判定两个三角形全等的是( )
A．有两边及一角对应相等
B．有三个角对应相等
C．有两角及一边对应相等
D．有两条边对应相等
9．如图，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移可得到△A′B′C′，点B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
10.如图所示，在LAOB的两边上截取AO= BO，CO =DO，连接AD，BC交于点P．有下列结论①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上．其中正确的是( )
A．只有① B．只有②
C．①② D．①②③
11. 如图，已知点E、C在线段BF上，BE= CF,AB∥DE,∠ACB=∠F .
求证：△ABC≌△DEF.
第五讲 全等三角形的判定（四）
（一）知识要点
1、直角三角形全等的判定方法：HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
书写格式：
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）
规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS，SAS，ASA，AAS以外，还有一个特殊的证明方法：HL（斜边、直角边），从表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三个条件，其实，HL也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt△”中才能用这种方法。
(二)经典例题
例1：如图，在Rt△ABC中，∠A=900，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线，交AC于点E。求证：AE=ED
例2：已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．
例3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB= OC.
例4.如图，∠ACB∠=ADB= 90 ．AC= AD，点E是AB上任意一点．求证：CE= DE.
例5.如图，AD为△ABC的高，E为AC上的一点， BE交AD于F，且有BF =AC，FD= CD．
(1)求证：BE⊥AC；
(2)若把条件BF =AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断．
（三）练习
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一个条件 （只需填一个），就可以判
定△ABD≌△ACD.
2．如图，AB= CD，AE⊥BC于E ，DF⊥BC于F．若BE= CF，则△ABE≌△ ，其依据是 .
3．已知AB =5,BC =4,AC =3,则的周长是 ，面积是 ，斜边上的高为_____．
4．如图，在分别过B，C作经过A点的直线的垂线BD，CE.若BD =3cm．CE =4cm，则DE= 。
5．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= 。
6．两个直角三角形全等的条件是( )
A．一锐角对应相等 B．一条边对应相等
C．两锐角对应相等 D．两条边对应相等
7．如图，已知AB= CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE= CF，则图中全等的三角形有( )
A.l对 B．2对 C．3对 D．4对
8．下列命题中，正确的有( )
①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图所示，∠C= 90 ，DE⊥AB于点D，BD=BC，如果AC =6cm，则AE +DE=( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
10.如图所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC= BD，那么下列结论：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC∠=CBD;④OC= OD．其中正确的是( )．
A．①②⑤④ B．①②③
C．①② D．②③
11．如图，AB：CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F分别是垂足，DE：BF.求证：(1)AF=CE；(2) AB∥
CD．
第六讲 全等三角形的判定综合
经典例题
例1：如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF。
求证：EB∥CF
例2.如图,已知;CD⊥AB,于D,BE⊥AC于E,BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.
例3．如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE.
求证：（1）⊿ABC≌⊿DEF；
（2）∠CBF=∠FEC.
例4：在直角三角形ABC中,AC=BC, ∠C=90°,D是AB边上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求证:BD=CG.
例5.如图.已知AB=DC, ∠A=∠D,求证: ∠ABC=∠DCB.
二．课后练习：
1、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F， 求证：EB=FC
2、已知：如图12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。
求证：（1）AB∥CD；（2）AE=CF。 (7分)
3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。
（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。 (8分)

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