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2023年山东省济宁市邹城十一中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在，，，四个数中，最大的数是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩单位：分分别是：，，，，，对这组数据，下列说法正确的是( )
A. 平均数是 B. 众数是 C. 极差是 D. 中位数
4. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. B. 当时，随的增大而增大
C. D. 当时，
5. 九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为天，则可列出正确的方程为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为，半径为，边心距为，则下列关系式错误的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的( )
A. B.
C. D.
8. 将一个半径为的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线剪开，则虚线所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为( )
A. B. C. D.
9. 如图，矩形中，，，点在边上，点在边上，点、在对角线上，若四边形是正方形，则的长是( )
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 一根头发丝的直径约为纳米，用科学记数法表示 ______ ．
12. 课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示：
种子数个
发芽种子数个
由此估计这种作物种子发芽概率约为______ 精确到．
13. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为______ ．
14. 如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的俯角为若斜面坡度为：，则斜坡的长是 米．
15. 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”在中，，，点是边上一点，连接，若是准互余三角形，则的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧画出放大后的；
在中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标______ ；
直接写出外接圆的圆心坐标______ ．
18. 本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
反比例函数的表达式；
观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
19. 本小题分
我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元；如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元．
求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共个，并且预算总费用不超过元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
20. 本小题分
如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
21. 本小题分
和是等腰直角三角形，，，．
【观察猜想】当和按如图所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长．
22. 本小题分
如图，抛物线与直线交轴于点，交轴于点．
求抛物线的解析式，并求出当时，的取值范围；
抛物线与轴另一交点为，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在说明理由．
如图，以为边作矩形，设点的横坐标为当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：从上面看，底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：．
俯视图是从上面看所得到的图形．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
3.【答案】
【解析】解：、平均数，故A选项不符合题意；
B、和分别出现了次，次数最多，所以众数是和，故B选项不符合题意；
C、极差是：，故C选项不符合题意；
D、按从小到大排列为：，，，，，，中位数是：，故D选项符合题意．
故选：．
分别根据平均数的公式，众数的定义，极差的定义以及中位数的定义判断即可．
本题考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点和抛物线与轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：
A、抛物线的开口方向向下，则故A选项错误；
B、根据图示知，当时，随的增大而减小．故此选项错误；
C、根据图示知，该抛物线与轴交与正半轴，则故C选项错误；
D、根据图示知，抛物线的对称轴为，抛物线与轴的一交点的横坐标是，则抛物线与轴的另一交点的横坐标是，
所以当时，故此选项正确；
故选D．

5.【答案】
【解析】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：．
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：是正五边形的外接圆，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
所以，关系式错误的是．
故选A．
根据圆内接正五边形的性质求出，再根据垂径定理求出，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意；
B、无法判断∽，故本选项符合题意；
C、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
D、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得虚线所对的圆弧对的圆心角为，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线所对的圆弧长为，
展开后得到的多边形的内角和为．
故选：．
把度折叠三次得到，则可根据弧长公式计算出虚线所对的圆弧长，由于把圆分成两个相同的部分，从而得到圆的内接正八边形，然后根据多边形的内角和求解．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，也考查了多边形内角与外角和折叠性质．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于点，
四边形是矩形
，，
四边形是正方形
，
，
∽
即
故选：．
连接，交于点，由勾股定理可求，即可求，通过证明∽，可求，则可求的长．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明∽是本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
每次旋转角度为，
次旋转，
第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
如此循环，每旋转次，点的对应点又回到轴正半轴，
，
点在第一象限，且，
如图，过点作轴于，
在中，，
，
，
点的坐标为．
故选：．
根据旋转角度为，可知每旋转次后点又回到轴的正半轴上，故点在第一象限，且，即可求解．
本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：从左往右数第一个非“”数字前面有个，
，
．
故答案为：．
科学记数法中表示绝对值小于时，从左往右数到第一个非“”数字，前面“”的个数为就是，据此即可求解．
本题考查了用科学记数法表示的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：观察表格，，，，，，
大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，
该作物种子发芽的频率为，
故答案为：．
概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：，
，
由题意，得，，
又，
．
故答案为：．
根据平行线的性质，同旁内角互补求解即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确得出是解题的关键．
过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，，求得，推出，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：如图所示：过点作于点，
斜面坡度为：，
，
，
在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
故答案为．
15.【答案】或
【解析】解：，，，
．
如图，
是准互余三角形，
，
，
，
，
是的平分线，
作于点，
则，，
设，则，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
；
如图，
是准互余三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
分两种情况画图说明，根据是准互余三角形，可以证明是的平分线，根据勾股定理即可求出的长；可以根据是准互余三角形，证明∽，对应边成比例即可求出的长，进而求出的长．
本题考查了勾股定理、余角和补角，解决本题的关键是分两种情况讨论．
16.【答案】解：
．
【解析】根据，，二次根式的运算，即可求解．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式，，，二次根式的运算法则．
17.【答案】
【解析】解：根据以原点为位似中心的坐标变换规律可得点，，的坐标分别为：，，，描点即可得到图所示图形；
根据位似比和以原点为位似中心的坐标变换规律可得，
点的坐标为；
如图所示，由网格的特点可得，，
是直角三角形，
是圆的直径，
的中点即为外接圆的圆心，
点的坐标为．
根据以原点为位似中心的坐标变换规律，把点，，的横纵坐标都乘以即可得到点，，的坐标，然后描点即可得到；
根据以原点为位似中心的坐标变换规律，把点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标；
首先得到是外接圆的直径，进而根据网格的特点求解即可．
本题考查了作图位似变换，位似比，三角形外接圆等知识点，解答本题的关键是会利用位似中心和位似比作图并利用点的坐标求出线段长．
18.【答案】解：直线经过点，
，
，
反比例函数经过点，
，
，
反比例函数的解析式为．
由函数图象可知，当时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
当时，，即
不等式的解集为．
由题意，点，的坐标为，，
，
，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为．
【解析】先把点的坐标代入一次函数解析式求出的值即可得到点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出，即可确定反比例函数解析式；
只需要找到当时，一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可解答；
先求出，，进而得到，再根据三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可解答．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、二次函数的最值问题、反比例函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
19.【答案】解：设每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元．
设学校购买个乙种规格的足球，则购买个甲种规格的排球，
依题意，得：，
解得：．
又为整数，
的最大值为．
答：该学校至多能购买个乙种规格的足球．
【解析】设每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元，根据“如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元；如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校购买个乙种规格的足球，则购买个甲种规格的排球，根据总价单价数量结合预算总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，则点在圆上，
与相切；
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积
．
【解析】过点作，证明≌，得到，即可证明与圆相切；
先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
21.【答案】解：【观察猜想】，；
【探究证明】线段和线段的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：因为，
所以，
即，
在和中，
，
所以≌，
所以，，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以；
【拓展应用】如图，在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为将绕着点逆时针旋转至，
所以，，
由【探究证明】在和中，
，
所以≌知，
所以．
【解析】解：【观察猜想】，，
证明：因为和是等腰直角三角形，
所以，，，
在和中，
，
所以≌，
所以，，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以；
【探究证明】见答案；
【拓展应用】见答案．
分析：【观察猜想】根据推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
【探究证明】根据推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
【拓展应用】在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接，则，，，可得，由勾股定理可得，，由旋转得，，由【探究证明】知，即可得的长．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明≌是本题的关键．
22.【答案】解：直线交轴于点，交轴于点，
，；
点，点在抛物线上，
，
解得：，
抛物线，
抛物线的对称轴为：，
，
当时，，
当时，，
当时，；
存在，理由如下：
抛物线与轴另一交点为，
点，
将沿直线折叠得到，与抛物线的交点为点，
，
的中点，
点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
，
设点，
点在直线上，
，
解得：舍去，，
，
点；
如图所示，延长交抛物线于点交轴于点，过点作交延长线于，交轴于，
直线的解析式为，
四边形是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
≌，≌，
，，
，，
设直线的解析式为，直线的解析式为：，
，，
解得：，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
当线段沿直线移动，在之间时，与抛物线只有一个交点，
，
；
，
，
四边形是矩形，
，
直线向下平移个单位，向左平移个单位，得到，
，
在间包含端点，不与重合时，与抛物线只有一个交点，
且．
【解析】根据直线交轴于点，交轴于点，求出点，点的坐标，根据点，点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，再根据，求出的取值范围；
由得，抛物线为，求出点，将沿直线折叠得到，与抛物线的交点为点，则，根据折叠的性质，交点坐标，即可求出点的坐标；
如图所示，延长交抛物线于点交轴于点，过点作交延长线于，交轴于，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，求出点，的坐标，求出直线的解析式和直线的解析式，根据线段沿直线移动，在之间时，与抛物线只有一个交点，求出，即可．
本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象的性质，二次函数和一次函数的综合，矩形的性质．
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