资源简介

【高考真题】2023年北京高考数学卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（2023·北京卷）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·北京卷）已知向量满足，则（　　）
A． B． C．0 D．1
4．（2023·北京卷）下列函数中，在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（　　）．
A． B． C．40 D．80
6．（2023·北京卷）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2023·北京卷）在中，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·北京卷）若，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023·北京卷）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·北京卷）已知数列满足，则（　　）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（2023·北京卷）已知函数，则　 　．
12．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为　 　．
13．（2023·北京卷）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为　 　，　 　．
14．（2023·北京卷）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则　 　；数列所有项的和为　 　．
15．（2023·北京卷）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2023·北京卷）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
17．（2023·北京卷）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2023·北京卷）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19．（2023·北京卷）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
20．（2023·北京卷）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
21．（2023·北京卷）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足使得．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：A
【分析】先化简集合，再求两集合交集。
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数对应的点的坐标是 ，
，
的共轭复数为。
故答案为：D
【分析】根据复数的几何意义写出复数，再利用共轭复数定义写出。
3．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】A、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，A不符合题意；
B、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，B不符合题意；
C、在区间上单调递减， 在区间上单调递增，C符合题意；
D、 ， ，， 在区间上不单调递增 ，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】利用函数单调性判断选项.
5．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 展开式通项为，
令，解得，
展开式中的系数为.
故答案为：D
【分析】根据 展开式通项公式得出答案.
6．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】 到直线的距离为5 ，
到直线准线的距离为4，由抛物线定义知
故答案为：D
【分析】 到直线的距离为5 得出 到直线准线的距离为4，所以.
7．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由正弦定理知 ，
，由余弦定理，
，
故答案为：B
【分析】利用正弦定理化简再结合余弦定理求解角C。
8．【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】 ，
，，
充分性：由 和 得和互为相反数，
有；
必要性：，
，
，
。
故答案为：C
【分析】充分性：由 和 得和互为相反数，有；必要性：将化简得到即可。
9．【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图：
设点在底面上的投影为，连接，作，，垂足分别为，，
四边形是矩形，
侧面和侧面与底面的夹角分别为，
由题知，
，，
，即 ，
，
五面体的所有棱长之和为.
故答案为：C
【分析】设点在 底面 上的射影为，则，进而求解。
10．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；数列的函数特性
【解析】【解答】由 得 ，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，注意到，和时，单调递增，时，单调递减，和时，和时
A、 ， ，
当时，，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，即，
时，， 为递减数列，
由，
令，则，
由二次函数知在单调递减，
时，
在上单调递增，，
，即，
假设存在常数，使得恒成立 ，
取，其中，且
，，，，，，
上式相加得，
，与 恒成立矛盾，A错误；
B、 ，当时，，，，
假设当时，，
当时，，，
又当时，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，
时，， 为递增数列
取时，满足题意，B 正确；
C、 ， ，
当 时，，，，
猜想当时，，
当与时满足，
假设当时，，
当时，，，
综上：
，，
时，， 为递减数列，
假设 存在常数，使得恒成立 ，
记，取，其中，且
，，即
，故 不恒成立，C错误；
D、 ，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，
时，，， 为递增数列，
由，
令，则，
由二次函数知在单调递增，
时，
在上单调递增，，
，即，
假设 存在常数，使得恒成立
取，其中，且
，，，，，，
上式相加得，
，与 恒 成立矛盾，D错误。
故选：B
【分析】将 变形得到 构造函数，利用导数判断单调性进而得到数列的增减性，逐一分析选项。
11．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，.
故答案为：1
【分析】将代入函数解析式计算求解 。
12．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
13．【答案】；
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】取，，满足 为第一象限角，且 ，但，
能说明p为假命题一组的值为，.
故答案为：；
【分析】举反例即可.
14．【答案】48；384
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知 ，设后7项公比为
后7项成等比数列 ，
公比，
首项，
，
后7项和为
前3项成等差数列，
前3项成和为，
数列所有项的和为.
故答案为：48；384
【分析】通过等比中项依次求出 ，，在利用 成等差数列，等比数列求和公式求出数列所有项的和。
15．【答案】②③
【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法的应用；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】 ，当 时，，图像是一条取不到右端点的单调递增的射线；
当时，，图像是在轴上方的圆心为，半径为的半圆；
当时，，图像是一条取不到左端点的单调递减的曲线；
对于①，取， 的图像如下，
当时，即，f(x)单调递增，①错误：
对于②，当时，有当时，；
当时，取得最大值为；
当时，
综上： 取得最大值，②正确；
对于③，由图知，
当，趋于时， 的距离最小，，其中且接近于，，③正确；
对于④，取， 的图像如下，
由图知，取得最小值为原点到的距离减去圆的半径，且点在上，点在，上，
直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，在上，可以取得最小值，此时，④错误。
故答案为：②③
【分析】画出 图形逐一分析个结论。①取， 根据图象即可判断；②分、、三段函数分析判断即可；③根据图象即可判断；④取，根据图象即可判断.
16．【答案】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过证明，来证明 平面PAB；
（2）建立空间直角坐标系利用空间向量求解二面角的大小．
17．【答案】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）代入，又 求解 的值 ；
（2） 若选择条件①不符合题意；
若选择条件②：由 在区间上单调递增，，知进而求出再代入解析式由和求的值 ；
若选择条件③ 由 在区间上单调递增，，在区间上单调递减知 ，进而求出再代入解析式由和求的值 。
18．【答案】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第天不变的概率最大.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）计算表格的个数，根据古典概型求“上涨”的概率；
（2）分别计算上涨，下跌，不变的概率，再计算 4天中2天 “上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）通过分析表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行估计第天的情况。
19．【答案】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知，，结合，求解椭圆方程；
（2）设，由题意求出直线，，的方程，联立求出点 ， 坐标，利用证明 ．
20．【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用，，求解 的值；
（2）对 求导，求出和区间得到 的单调区间；
（3）通过求解 的变号零点个数来求的极值点个数．
21．【答案】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）（ⅰ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
（ⅱ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】(1)先求，再利用 分别 求的值；
(2)由得到，再利用反证法证明，结合等差数列求 ；
(3)讨论大小，利用反证法分析证明存在，满足使得．
1 / 1【高考真题】2023年北京高考数学卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（2023·北京卷）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：A
【分析】先化简集合，再求两集合交集。
2．（2023·北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数对应的点的坐标是 ，
，
的共轭复数为。
故答案为：D
【分析】根据复数的几何意义写出复数，再利用共轭复数定义写出。
3．（2023·北京卷）已知向量满足，则（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
4．（2023·北京卷）下列函数中，在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】A、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，A不符合题意；
B、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，B不符合题意；
C、在区间上单调递减， 在区间上单调递增，C符合题意；
D、 ， ，， 在区间上不单调递增 ，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】利用函数单调性判断选项.
5．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（　　）．
A． B． C．40 D．80
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 展开式通项为，
令，解得，
展开式中的系数为.
故答案为：D
【分析】根据 展开式通项公式得出答案.
6．（2023·北京卷）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】 到直线的距离为5 ，
到直线准线的距离为4，由抛物线定义知
故答案为：D
【分析】 到直线的距离为5 得出 到直线准线的距离为4，所以.
7．（2023·北京卷）在中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】由正弦定理知 ，
，由余弦定理，
，
故答案为：B
【分析】利用正弦定理化简再结合余弦定理求解角C。
8．（2023·北京卷）若，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】 ，
，，
充分性：由 和 得和互为相反数，
有；
必要性：，
，
，
。
故答案为：C
【分析】充分性：由 和 得和互为相反数，有；必要性：将化简得到即可。
9．（2023·北京卷）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图：
设点在底面上的投影为，连接，作，，垂足分别为，，
四边形是矩形，
侧面和侧面与底面的夹角分别为，
由题知，
，，
，即 ，
，
五面体的所有棱长之和为.
故答案为：C
【分析】设点在 底面 上的射影为，则，进而求解。
10．（2023·北京卷）已知数列满足，则（　　）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；数列的函数特性
【解析】【解答】由 得 ，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，注意到，和时，单调递增，时，单调递减，和时，和时
A、 ， ，
当时，，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，即，
时，， 为递减数列，
由，
令，则，
由二次函数知在单调递减，
时，
在上单调递增，，
，即，
假设存在常数，使得恒成立 ，
取，其中，且
，，，，，，
上式相加得，
，与 恒成立矛盾，A错误；
B、 ，当时，，，，
假设当时，，
当时，，，
又当时，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，
时，， 为递增数列
取时，满足题意，B 正确；
C、 ， ，
当 时，，，，
猜想当时，，
当与时满足，
假设当时，，
当时，，，
综上：
，，
时，， 为递减数列，
假设 存在常数，使得恒成立 ，
记，取，其中，且
，，即
，故 不恒成立，C错误；
D、 ，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，
时，，， 为递增数列，
由，
令，则，
由二次函数知在单调递增，
时，
在上单调递增，，
，即，
假设 存在常数，使得恒成立
取，其中，且
，，，，，，
上式相加得，
，与 恒 成立矛盾，D错误。
故选：B
【分析】将 变形得到 构造函数，利用导数判断单调性进而得到数列的增减性，逐一分析选项。
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（2023·北京卷）已知函数，则　 　．
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，.
故答案为：1
【分析】将代入函数解析式计算求解 。
12．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
13．（2023·北京卷）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】取，，满足 为第一象限角，且 ，但，
能说明p为假命题一组的值为，.
故答案为：；
【分析】举反例即可.
14．（2023·北京卷）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则　 　；数列所有项的和为　 　．
【答案】48；384
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知 ，设后7项公比为
后7项成等比数列 ，
公比，
首项，
，
后7项和为
前3项成等差数列，
前3项成和为，
数列所有项的和为.
故答案为：48；384
【分析】通过等比中项依次求出 ，，在利用 成等差数列，等比数列求和公式求出数列所有项的和。
15．（2023·北京卷）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法的应用；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】 ，当 时，，图像是一条取不到右端点的单调递增的射线；
当时，，图像是在轴上方的圆心为，半径为的半圆；
当时，，图像是一条取不到左端点的单调递减的曲线；
对于①，取， 的图像如下，
当时，即，f(x)单调递增，①错误：
对于②，当时，有当时，；
当时，取得最大值为；
当时，
综上： 取得最大值，②正确；
对于③，由图知，
当，趋于时， 的距离最小，，其中且接近于，，③正确；
对于④，取， 的图像如下，
由图知，取得最小值为原点到的距离减去圆的半径，且点在上，点在，上，
直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，在上，可以取得最小值，此时，④错误。
故答案为：②③
【分析】画出 图形逐一分析个结论。①取， 根据图象即可判断；②分、、三段函数分析判断即可；③根据图象即可判断；④取，根据图象即可判断.
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2023·北京卷）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过证明，来证明 平面PAB；
（2）建立空间直角坐标系利用空间向量求解二面角的大小．
17．（2023·北京卷）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）代入，又 求解 的值 ；
（2） 若选择条件①不符合题意；
若选择条件②：由 在区间上单调递增，，知进而求出再代入解析式由和求的值 ；
若选择条件③ 由 在区间上单调递增，，在区间上单调递减知 ，进而求出再代入解析式由和求的值 。
18．（2023·北京卷）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第天不变的概率最大.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）计算表格的个数，根据古典概型求“上涨”的概率；
（2）分别计算上涨，下跌，不变的概率，再计算 4天中2天 “上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）通过分析表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行估计第天的情况。
19．（2023·北京卷）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知，，结合，求解椭圆方程；
（2）设，由题意求出直线，，的方程，联立求出点 ， 坐标，利用证明 ．
20．（2023·北京卷）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用，，求解 的值；
（2）对 求导，求出和区间得到 的单调区间；
（3）通过求解 的变号零点个数来求的极值点个数．
21．（2023·北京卷）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足使得．
【答案】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）（ⅰ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
（ⅱ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
【知识点】反证法的应用
【解析】【分析】(1)先求，再利用 分别 求的值；
(2)由得到，再利用反证法证明，结合等差数列求 ；
(3)讨论大小，利用反证法分析证明存在，满足使得．
1 / 1

展开更多......

收起↑