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2023-2024学年人教版数学八年级上册第十三章轴对称专项练习
知识点
一、轴对称
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
二、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
练习题
一、选择题：
1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在下列对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（　　）
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
3．已知：如图，∠C=∠D=72°，AD=BC，AC=BD=AB，则图中共有（　　）个等腰三角形．
A．6 B．5 C．4 D．3
4．若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成差为2cm的两部分，则腰长为（　　）
A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．以上都不对
5．如图，在△ABE中，∠E＝25°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC，若AB＝AC，那么∠BAE的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
6．如图，已知直线，将等边三角形如图放置．若，则等于（　　）
A．17° B．22° C．27° D．32°
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）
A．48° B．36° C．30° D．24°
8．如图，在 中， ， ，点E在BC的延长线上， 的平分线BD与 的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是(　　)
A． B． C． D．AC=AB
9．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，高 AD 与角平分线 BE 相交于点 F．∠DAC 的平分线 AG分别交 BC、BE 于点 G、O，连接 FG．下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE＝∠AEF； ③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题：
10．等腰三角形的底角是 ，腰长为10，则其面积为　 　
11．如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为　 　°.
12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则　 　．
13．如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，则∠A=　 　．
14．在中，斜边上有两点和，，，则　 　．
15．已知°，点在的内部，点与点关于对称，点与点关于对称，若，则　 　．
三、解答题：
16．作图：请你在下图中用尺规作图法作出四边形关于直线的对称图形．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，下结论，不写作法）
17．已知：如图 ABC中，AB=AC=10，BC=8，∠A=39°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M，连接BD.求证：
（1）∠DBC的度数；
（2）△BDC的周长.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D.求证：△AEF是等腰三角形.
19．已知：如图，在中，，是的角平分线，以为边向外作等边三角形，连接，分别交、于点E、F，连接．
（1）试说明的理由；
（2）求的大小．
20．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D
10．25
11．60
12．3
13．21°
14．
15．5
16．解：所作图形如下：已知平行四边形ABCD，求作平行四边形A'B'C'D'与平行四边形ABCD关于l的轴对称图形
17．（1）解：∵AB=AC，∠A=39°，
∴∠ABC=∠ACB=70.5°，
又∵DM为AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=39°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=31.5°；
（2）解：∵DB=AD，AC=10，BC=8，
∴DB+DC=AD+DC=AC=10.
∴△DBC的周长为DB+DC+BC=18.
18．证明：∵FD∥AC，
∴∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B，
∴FB=FD.
又∵EP⊥BC，
∴∠PFB=∠PFD，
∵∠PFB=∠AFE，
∴∠PFD=∠AFE，
又∵∠PFD=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形
19．（1）证明：在中，，是的角平分线，
垂直平分，
，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，
，，
，
由（1）中结论，得，
在和中，由外角定理，得
，
．
20．解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN

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