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2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形学案
知识点：
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
练习题
一、选择题：
1．如图所示，∠1=∠2，BC=EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（　　）
A．AB=DE B．∠ACE=∠DFB C．BF=EC D．∠ABC=∠DEF
2．在△ABC中，∠C=90°，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点P，且PE⊥AB于点E．若BC=3，AC=4，则PE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三角形中和△ABC全等的图形是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
4．如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A、C，则下列结论错误的是（　　）
A．AD=CD B．∠DAP=∠DCP C．∠ADB=∠BDC D．PD=BD
6．如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
7．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD 和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE，其中正确的是（　　）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD=12，CD=5，则ED的长度是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：
10．已知△ABC≌△DEF，且∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，△DEF中最大边长是　 　，最大角是　 　度．
11．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，D为BC边的中点，则中线AD的取值范围是　 　．
12．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为　 　．
14．如图，在中，平分交于点D，且，则的面积为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S= AC BD．正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：
16．如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．请问∠DAB与∠EAC相等吗？请说明理由．
17．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米.
（1）河的宽度是　 　米.
（2）请你说明他们做法的符合题意性.
18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，.
（1）求证：
（2）若，，求BD的长.
19．如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
（1）若∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数，并说明理由；
（2）若∠B=α，∠C=β（α<β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系 .(不需说明理由)
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40，求△EDF的面积为多少？
参考答案：
1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．A 7．C 8．B 9．C
10．10；90
11．1＜AD＜5
12．BE=CF或∠A=∠D或BC=EF（填一个即可）
13．
14．15
15．①④
16．解：∠DAB=∠EAC，
理由：在△ADC和△AEB中，
∵ ，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC=∠EAB，
∴∠DAC﹣∠BAC=∠BAE﹣∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC
17．（1）5
（2）证明：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
即他们的做法是正确．
18．（1）证明：∵CF//AB，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，CF=3，
∴，
∴
19．（1）解：∵∠C=70°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-40°-70°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE= ∠BAC=35°
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°
（2）
20．解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∵ ，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=49﹣40=9，
S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×9=4.5．

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