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2023-2024学年人教版数学八年级上册第十一章三角形学案
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知识点
1、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
6、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
7、三角形的面积
三角形的面积=×底×高
练习题
一、选择题：
1．若一个正多边形的一个内角为，则这个图形为正（　　）边形.
A．八 B．九 C．十 D．十一
2．一个三角形至少有（　　）
A．一个锐角 B．两个锐角 C．一个钝角 D．一个直角
3．已知一个三角形的两条边长分别是3和5，则第三条边的长度不能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部
C．三角形的三条高线的交点必在三角形内部
D．以上说法都错
5．如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．39° B．40° C．41° D．42°
6．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（　　）
A．165° B．135° C．105° D．75°
7．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=66°， 则∠ACB的度数（　　）
A．33° B．28° C．52° D．48°
8．如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（　　）
A．4 B．5 C．10 D．无法判断
9．如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：
10．电线杆的拉干线的使用是利用三角形的　 　．
11．三角形的三边长分别为3、7、a，且a为偶数，则这个三角形的周长为　 　。
12．小马虎同学在求一个多边形内角和时，由于粗心多算了一个外角，结果求得内角和为 ，则这个外角的度数为　 　．
13．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数：　 　.
14．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为　 　 ．
15．如图所示， ， ， 分别平分 ， ，若 ，则 　 　．
三、解答题：
16．一个多边形的每一个外角都相等，一个内角和一个外角之比为9：2，求这个多边形的边数．
17．已知点A（﹣5，0），B（3，0），在坐标平面内找一点C，能满足S△ABC=16，求点C的坐标，这个点的坐标有何规律？
18．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，若S△ABC=1，求S△ABE．
19．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．
（1）∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFD的度数；
（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．
20．如图，已知，．
（1）求证：；
（2），，求．
参考答案：
1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．A 7．D 8．B 9．D
10．稳定性
11．16或18
12．50°
13．180°
14．6
15．
16．解：设多边形的一个内角为9x度，则一个外角为2x度，依题意得
9x+2x=180°
解得x=（）°
360°÷[2×（ ）°]=11．
答：这个多边形的边数为11．
17．解：如图，∵A（﹣5，0），B（3，0），
∴AB=3﹣（﹣5）=3+5=8，
S△ABC= AB CO= ×8 CO=16，
解得：CO=4，
当点C在y轴的正半轴时，点C的坐标为（0，4），
当点C在y轴的负半轴时，点C的坐标为（0，﹣4）；
∵到x轴距离等于4的点有无数个，
∴在平面内使△ABC的面积为16的点有无数个，这些点到x轴的距离等于4．
18．解：∵点D、E分别是BC、AD边的中点，
∴S△ABD= S△ABC，S△ABE= S△ABD，
∴S△ABE= S△ABC，
∵S△ABC=1，
∴S△ABE=1× = ．
19．（1）解：∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝20°+40°＝60°．
（2）解：∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ (∠ABC+∠ACB)＝ (180°﹣∠A)＝90°﹣ ∠A．
20．（1）证明：∵∠FED+∠BGF=180°，∠BGF=∠EGC，
∴∠FED+∠EGC=180°，
∴BC∥ED，
∴∠B+∠BED=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠BED+∠D=180°，
∴AB∥DF；
（2）解：
设∠FED=x，
∵∠FED-∠AED=51°，∠FED-∠BEF=63°，
∴∠AED=x-51°，∠BEF=x-63°，
∵∠AED+∠FED+∠BEF=180°，
∴x-51°+x+x-63°=180°，
∴x=98°，
∴∠AED=98°-51°=47°，
∵AB∥DF，
∴∠D=∠AED=47°

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