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高一下学期期末复习导学案（六）
线线、线面、面面平行与垂直的判定与证明
班级 姓名
知识归纳
一、直线与平面平行的判定定理
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号： l∥α
3、图形：
二、直线与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
2、符号语言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
3、图形语言：
三、平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行 面面平行”)
2、符号语言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α∴α∥β
3、图形：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
四、平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3、图形：
4、性质定理推论：
推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．
推论2：两条直线被三个平行
五、直线与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P
l⊥α
3、图形语言：
5、作用：证明线面垂直
六、直线与平面垂直的性质定理
1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、符号语言： a∥b
3、图形语言：
4、作用：①线面垂直 线线平行 ②作平行线
5、推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
七、平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：l⊥α，l β α⊥β
八、平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言： a⊥β
4、作用：①面面垂直 线面垂直
②作面的垂线
平面所截，截得的对应线段成比例
典例分析
题型一、平行关系的证明
【例1-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点，在上满足.
（1）证明：平面PAD；
（2）证明：平面FBD
【例1-2】如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，DC，PC上共面的四点，平面GEFH，证明：
【例1-3】如图，已知是矩形，是梯形，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面.
【例1-4】在三棱锥中，O，E，F，分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC中点.
求证：平面BOE.
题型二、垂直关系的证明
【例2-1】如图，三棱柱中，，，.
证明.
【例2-2】如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，
求证：平面EAB．
【变式2-1】如图，在三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，证明：平面
【例2-3】如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.证明：平面平面.
【变式2-2】已知多面体ABCDEF如图，是正三角形，，平面，，，G，H分别是线段上的点，，．
求证：平面平面．
题型三、探究性问题
【例3-1】如图，已知四边形是矩形，，，、分别是线段、的中点，面.
（1）证明：；
（2）在上找一点，使得平面.
【例3-2】如图，矩形所在的平面垂直于所在的平面，，F为的中点．若P为线段上的动点，当时，试确定点P的位置，并加以证明．
题型四、综合性问题
【例4-1】如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，，将四边形沿边折起，如图2．
（1）证明：图2中的平面；
（2）在图2中，若，求该几何体的体积．
【例4-2】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．
【例4-3】如图示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值．
课后作业
一、基础训练题
1、如图，直三棱柱中，、分别是、的中点， ，证明：平面.
2、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
3、如图，四边形为矩形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，求证：平面平面.
4、如图，已知在正方体中，E为的中点．求证：．
5、如图所示，在直三棱柱中，，，，，M是中点，求证：．
6、如图，在中，，平面ABC，垂足为A，于点M，于点N．求证：平面AMN．
7、如图，在中，，平面ABC，平面ABC，且．求证：平面平面BCE．
8、已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．
9、如图，在四棱锥中，，，，，，分别为，的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）设，若三棱锥的体积，求实数．
10、如图，的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
二、提高训练题
11、如图，在三棱锥中，平面，为直角三角形，是边的中点，是边的中点，是线段上一动点，．
（1）当为中点时，求证：平面平面；
（2）当平面时，求三棱锥的体积．
12、（如图（1），在矩形中，，在边上，．沿，，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图（2）．
（Ⅰ）试判断图（2）中直线与的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若平面平面，证明：平面．
13、如图，边长为5的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
高一下学期期末复习导学案（六）
线线、线面、面面平行与垂直的判定与证明参考答案
【例1-1】【解析】（1）取PD中点G，连接AG，EG，
则因为点为棱的中点，
所以GE是△PCD的中位线，
所以GE//CD且，
又，且，
所以GE//AB，且GE=AB，
所以四边形ABEG为平行四边形，所以BE//AG，
又BE平面PAD，平面PAD，
所以BE//平面PAD；
（2）连接AC，交BD于点H，
因为AB//CD，且CD=2AB，则，
又PF=2AF，所以PC∥FH，
又FH平面BDF，PC平面BDF，
所以PC//平面BDF.
【例1-2】【解析】∵平面GEFH，平面PBC，平面平面，∴.
又∵平面GEFH，平面ABCD，平面平面，
∴，，，∴.
【例1-3】【解析】因，分别是，的中点，则，
而平面CPE，平面CPE，则平面CPE，
而，且，
于是得四边形AEPG是平行四边形，即，
又平面CPE，平面CPE，
从而是平面CPE，
因，平面AFG，
所以平面平面.
【例1-4】【解析】取BC中点H，连GH，FH，
∵O，E，F，H分别是AC，AD，BD，BC中点，
∴，，
∴，
∵平面BOE，平面BOE，
∴平面BOE，
∵分别是的中点，
∴，
∵平面BOE，平面BOE，
∴平面BOE，
∵，平面FGH，平面FGH，
∴平面平面FGH，
∵平面FGH，
∴平面BOE.
【例2-1】【答案】证明见解析.
【解析】取中点，连接、、，
，，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
，则，
，故平面，
平面，因此，.
【例2-2】【解析】E，F分别是棱，的中点，
在Rt△和Rt△中，，
所以Rt△ Rt△，所以△，
因为，所以，
所以，即，
又因为正方体中，
平面，平面，
所以，和平面EAB内的两条相交直线，
所以平面EAB.
【变式2-1】【解析】，得，
因为为正三角形，所以为正三角形.
因为为的中点.所以，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面
【例2-3】【解析】证明：在正方形中，且，
因为、分别为、的中点，
则且，，故四边形为矩形，则，
又因为，，所以，平面，因为平面，
因此，平面平面.
【变式2-2】【解析】设线段BC中点为M，连接DM交GH于点O，分别连接OF，BD．
由条件可得，，，又，
∴三个四边形ABMD，ADFE，BMFE都是平行四边形，
∴，，，，．
∵是正三角形，∴是正三角形，
∵，，．
由得G是线段BM中点，
所以O是DM中点．∴，
∵平面ABE，平面ABE，平面ABE，
∴，，∴，，
∵DM，DF是平面DMF内两条相交直线，∴平面DMF，
∵平面DMF，∴，
∵AD，DM是平面ABCD两条相交直线，∴平面ABCD，
∵平面ABCD，∴，
∵，∴，∴，
∵FO，GH是平面FGH内两条相交直线，∴平面FGH，
∵平面FDC，∴平面平面FDC．
【例3-1】【解析】（1）证明：连结，
因为在矩形中，，，分别是线段的中点，
由勾股定理：得.
又因为面，所以.
又，所以平面.
所以；
（2）过作交于，则平面且，
再过作交于，则平面且，
所以平面平面，所以平面，
从而满足的点为所求.
【例3-2】【解析】当P为线段的中点时，有
证明：取的中点为，连结
由矩形所在的平面垂直于所在的平面，
，平面，平面平面
所以平面，又平面，则
由为的中点，P为的中点，则，
所以
由，为的中点，
又，则平面
又平面，所以.
所以当P为线段的中点时，有
【例4-1】【答案】（1）证明：法一：取中点，连接，，．
，，四边形是平行四边形．
，，
四边形是平行四边形，．
同理可知：四边形是平行四边形，．
，平面，，，平面，，
平面平面．平面，平面．
法二：连接，交于点，取的中点，连接，．
点是的中点．，
四边形是平行四边形，．
平面，平面，平面．
（2）解：若，因为，，则，故，
从而，，两两垂直．
连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥．
则．
因为平面平面，故，
所以．
【例4-2】【答案】（1）证明：四边形为菱形，．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，．
又，，得．
又，平面，，平面；
（2）解：由（1）得平面，平面，，
，可得为等腰三角形．
在中，由余弦定理得．
，，则．
可得，又，
．
【例4-3】【答案】（Ⅰ）证明：平行四边形和矩形所在平面互相垂直，
，，，
所以，可得，从而，，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，平面，
所以．
（Ⅱ）解：，由勾股的逆定理知．
设点在平面内的射影为，连结，
则为直线与平面所成角．
由等体积法求得点到平面的距离是，
又，，直线与平面所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设与相交于，则，所以平面．
则当点在或时，三棱锥的体积最小，
．
课后作业
1、【解析】连接交于点，连接，
则为的中点，
因为为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
2、【解析】如图，连接，设交于点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点
又是的中点，∴.
又平面，平面BDM，
∴平面
又平面，平面平面，
∴．
3、【解析】因为四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为和均为等腰直角三角形，且，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，且，
所以平面平面
4、【解析】连接，
在正方体中且面，
又面，
则，且，、面，
所以面，
又面，即.
5、【解析】如图D-1-18，连接．∵，，
∴∽，∴，
∴，∴．
∵三棱柱为直三棱柱，∴．
又∵，，∴平面
∵平面，∴
∵，
∴平面，因为平面
∴
6、【解析】平面ABC，．
又，而，平面PAB，．
，且，平面PBC，．
，且．
平面AMN
7、【解析】取BC的中点F，取BE的中点G，连接GF，DG，AF．
EMBED Equation.DSMT4 ，．
平面ABC，平面ABC，．
，平面ECB．
在中，G，F分别是BE，BC的中点，
，．
而平面ABC，平面ABC，．
，，．
EMBED Equation.DSMT4 四边形AFGD是平行四边形．
．平面ECB，
平面ECB．平面BED，
平面平面BEC．
8、【解析】（1）证明：平面，平面，，
四棱锥的底面为平行四边形，
，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
（2）解：存在，为上靠近的三等分点，
取上靠近的三等分点为，取上靠近的三等分点为，连接、、；
、分别为、上的三等分点，且，
，且四棱锥的底面为平行四边形，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
9、【解析】（1）证明：，，，分别为的中点，
四边形为矩形，，
，分别为的中点，，
，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面．
（2）由（1）知，，
，分别为，的中点，，，
，，、平面，
平面，
，平面，，
又，，、平面，
平面，
为的中点，点到平面的距离为，
三棱锥的体积，
，．
10、【解析】（Ⅰ）证明：因为为的外接圆的直径，所以，
又因为平面，所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）因为，所以，
因为平面平面，
过作垂直于，交于，
则为锥体的高且，，
所以．
11、【解析】（1）证明：，为等腰直角三角形，
当为中点时，．
平面，平面，．
且都在平面中，平面．
平面，平面平面．
（2）解：如图取为中点，连接，．
为三角形中位线，，
平面，不在平面内，平面，
平面，且都在平面内，
平面平面，，
，为线段靠近点的四等分点．
．
12、【解析】证明：（Ⅰ）．理由如下：
连结，分别取，的中点，，连结，，，由图（1）
可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，
平面平面，交线为，平面，
平面．
同理得，平面，．
又四边形为平行四边形，
．
，分别是，的中点，
．
（Ⅱ）证明：，平面，平面
面
平面，面平面
由（Ⅰ）问有平面．
平面．
13、【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）.
【解析】（1）∵是正方形，∴，又平面平面
且平面平面，∴，
（2）连接
∵是矩形，∴是的中点，∴是的中点，
又是的中点，∴∥
而平面，平面，∴∥平面
（3）过点作交线段于点，则点即为所求.
∵平面，∴，
又∵，∴平面，∴，
∵与相似，∴，
而，，∴.
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高一下学期期末复习导学案（六）
线线、线面、面面平行与垂直的判定与证明
班级 姓名
知识归纳
一、直线与平面平行的判定定理
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号： l∥α
3、图形：
二、直线与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
2、符号语言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
3、图形语言：
三、平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行 面面平行”)
2、符号语言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α∴α∥β
3、图形：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
四、平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3、图形：
4、性质定理推论：
推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．
推论2：两条直线被三个平行
五、直线与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P
l⊥α
3、图形语言：
5、作用：证明线面垂直
六、直线与平面垂直的性质定理
1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、符号语言： a∥b
3、图形语言：
4、作用：①线面垂直 线线平行 ②作平行线
5、推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
七、平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：l⊥α，l β α⊥β
八、平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言： a⊥β
4、作用：①面面垂直 线面垂直
②作面的垂线
平面所截，截得的对应线段成比例
典例分析
题型一、平行关系的证明
【例1-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点，在上满足.
（1）证明：平面PAD；
（2）证明：平面FBD
【例1-1】【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.
【解析】（1）取PD中点G，连接AG，EG，
则因为点为棱的中点，
所以GE是△PCD的中位线，
所以GE//CD且，
又，且，
所以GE//AB，且GE=AB，
所以四边形ABEG为平行四边形，
所以BE//AG，
又BE平面PAD，平面PAD，
所以BE//平面PAD；
（2）连接AC，交BD于点H，
因为AB//CD，且CD=2AB，则，
又PF=2AF，所以PC∥FH，
又FH平面BDF，PC平面BDF，
所以PC//平面BDF.
【例1-2】如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，DC，PC上共面的四点，平面GEFH，证明：
【例1-2】【答案】证明见解析
【解析】∵平面GEFH，平面PBC，平面平面，
∴.
又∵平面GEFH，平面ABCD，平面平面，
∴，
，，
∴.
【例1-3】如图，已知是矩形，是梯形，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面.
【例1-3】【答案】证明见解析
【解析】因，分别是，的中点，
则，
而平面CPE，平面CPE，则平面CPE，
而，且，
于是得四边形AEPG是平行四边形，即，
又平面CPE，平面CPE，
从而是平面CPE，
因，平面AFG，
所以平面平面.
【例1-4】在三棱锥中，O，E，F，分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC中点.求证：平面BOE.
【例1-4】【答案】证明见解析
【解析】取BC中点H，连GH，FH，
∵O，E，F，H分别是AC，AD，BD，BC中点，
∴，，
∴，
∵平面BOE，平面BOE，
∴平面BOE，
∵分别是的中点，
∴，
∵平面BOE，平面BOE，
∴平面BOE，
∵，平面FGH，平面FGH，
∴平面平面FGH，
∵平面FGH，
∴平面BOE.
题型二、垂直关系的证明
【例2-1】如图，三棱柱中，，，.证明.
【例2-1】【答案】证明见解析.
【解析】取中点，连接、、，
，，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
，则，
，故平面，
平面，因此，.
【例2-2】如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，
求证：平面EAB．
【例2-2】【答案】见解析
【解析】E，F分别是棱，的中点，
在Rt△和Rt△中，，
所以Rt△ Rt△，所以△，
因为，所以，
所以，即，
又因为正方体中，
平面，平面，
所以，和平面EAB内的两条相交直线，
所以平面EAB.
【变式2-1】如图，在三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】，得，
因为为正三角形，所以为正三角形.
因为为的中点.所以，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面
【例2-3】如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.证明：平面平面.
【例2-3】【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方形中，且，
因为、分别为、的中点，
则且，，
故四边形为矩形，则，
又因为，，
所以，平面，
因为平面，
因此，平面平面.
【变式2-2】已知多面体ABCDEF如图，是正三角形，，平面，，，G，H分别是线段上的点，，．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】设线段BC中点为M，连接DM交GH于点O，分别连接OF，BD．
由条件可得，，，又，
∴三个四边形ABMD，ADFE，BMFE都是平行四边形，
∴，，，，．
∵是正三角形，∴是正三角形，
∵，，．
由得G是线段BM中点，
所以O是DM中点．∴，
∵平面ABE，平面ABE，平面ABE，
∴，，
∴，，
∵DM，DF是平面DMF内两条相交直线，
∴平面DMF，
∵平面DMF，∴，
∵AD，DM是平面ABCD两条相交直线，
∴平面ABCD，
∵平面ABCD，∴，
∵，∴，∴，
∵FO，GH是平面FGH内两条相交直线，∴平面FGH，
∵平面FDC，∴平面平面FDC．
题型三、探究性问题
【例3-1】如图，已知四边形是矩形，，，、分别是线段、的中点，面.
（1）证明：；
（2）在上找一点，使得平面.
【例3-1】【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：连结，
因为在矩形中，，，分别是线段的中点，
由勾股定理：得.
又因为面，所以.
又，所以平面.
所以；
（2）过作交于，则平面且，
再过作交于，
则平面且，
所以平面平面，
所以平面，
从而满足的点为所求.
【例3-2】如图，矩形所在的平面垂直于所在的平面，，F为的中点．若P为线段上的动点，当时，试确定点P的位置，并加以证明．
【例3-2】【答案】当P为线段的中点时，有，证明见解析.
【解析】当P为线段的中点时，有
证明：取的中点为，连结
由矩形所在的平面垂直于所在的平面，
，平面，平面平面
所以平面，又平面，则
由为的中点，P为的中点，则，
所以
由，为的中点，
又，则平面
又平面，所以.
所以当P为线段的中点时，有
题型四、综合性问题
【例4-1】如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，，将四边形沿边折起，如图2．
（1）证明：图2中的平面；
（2）在图2中，若，求该几何体的体积．
【例4-1】【答案】（1）证明：法一：取中点，连接，，．
，，四边形是平行四边形．，，
四边形是平行四边形，．
同理可知：四边形是平行四边形，．
，平面，，，平面，，
平面平面．平面，平面．
法二：连接，交于点，取的中点，连接，．
点是的中点．，
四边形是平行四边形，．
平面，平面，平面．
（2）解：若，因为，，则，故，
从而，，两两垂直．
连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥．
则．
因为平面平面，故，
所以．
【例4-2】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．
【例4-2】【答案】（1）证明：四边形为菱形，．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，．
又，，得．
又，平面，，
平面；
（2）解：由（1）得平面，
平面，，
，可得为等腰三角形．
在中，由余弦定理得．
，，则．
可得，
又，
．
【例4-3】如图示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值．
【例4-3】【答案】（Ⅰ）证明：平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，
所以，可得，从而，，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，平面，
所以．
（Ⅱ）解：，由勾股的逆定理知．
设点在平面内的射影为，连结，
则为直线与平面所成角．
由等体积法求得点到平面的距离是，
又，，直线与平面所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设与相交于，则，
所以平面．
则当点在或时，三棱锥的体积最小，．
课后作业
一、基础训练题
1、如图，直三棱柱中，、分别是、的中点， ，证明：平面.
1、【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，
则为的中点，
因为为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
2、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
2、【答案】证明见解析
【解析】如图，连接，设交于点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点
又是的中点，∴.
又平面，平面BDM，
∴平面
又平面，平面平面，
∴．
3、如图，四边形为矩形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，求证：平面平面.
3、【答案】证明见解析.
【解析】因为四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为和均为等腰直角三角形，且，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，且，
所以平面平面
4、如图，已知在正方体中，E为的中点．求证：．
4、【答案】证明见解析.
【解析】连接，
在正方体中且面，
又面，
则，且，、面，
所以面，
又面，即.
5、如图所示，在直三棱柱中，，，，，M是中点，求证：．
5、【答案】证明见解析
【解析】如图D-1-18，连接．
∵，，
∴∽，∴，
∴，
∴．
∵三棱柱为直三棱柱，∴．
又∵，，
∴平面
∵平面，
∴
∵，
∴平面，因为平面
∴
6、如图，在中，，平面ABC，垂足为A，于点M，于点N．求证：平面AMN．
6、【答案】详见解析
【解析】平面ABC，．
又，而，
平面PAB，．
，且，
平面PBC，．
，且．
平面AMN
7、如图，在中，，平面ABC，平面ABC，且．求证：平面平面BCE．
7、【答案】详见解析.
【解析】取BC的中点F，取BE的中点G，连接GF，DG，AF．
，．
平面ABC，平面ABC，．
，平面ECB．
在中，G，F分别是BE，BC的中点，
，．
而平面ABC，平面ABC，．
，，．
四边形AFGD是平行四边形．
．平面ECB，
平面ECB．平面BED，
平面平面BEC．
8、已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．
8、【解答】（1）证明：平面，平面，
，
四棱锥的底面为平行四边形，
，
，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
（2）解：存在，为上靠近的三等分点，
取上靠近的三等分点为，取上靠近的三等分点为，连接、、；
、分别为、上的三等分点，
且，
，且四棱锥的底面为平行四边形，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
9、如图，在四棱锥中，，，，，，分别为，的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）设，若三棱锥的体积，求实数．
9、【解答】（1）证明：，，，分别为的中点，
四边形为矩形，
，
，分别为的中点，
，
，，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）解：由（1）知，，
，分别为，的中点，，，
，，、平面，
平面，
，
平面，，
又，，、平面，
平面，
为的中点，点到平面的距离为，
三棱锥的体积，
，
．
10、如图，的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
10、【解答】解：（Ⅰ）证明：因为为的外接圆的直径，
所以，
又因为平面，所以，
又，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）因为，所以，
因为平面平面，
过作垂直于，交于，
则为锥体的高且，，
所以．
二、提高训练题
11、如图，在三棱锥中，平面，为直角三角形，是边的中点，是边的中点，是线段上一动点，．
（1）当为中点时，求证：平面平面；
（2）当平面时，求三棱锥的体积．
11、【解答】（1）证明：，
为等腰直角三角形，
当为中点时，
．
平面，平面，
．
且都在平面中，
平面．
平面，平面平面．
（2）解：如图取为中点，连接，．
为三角形中位线，，
平面，不在平面内，平面，
平面，且都在平面内，
平面平面，，
，
为线段靠近点的四等分点．
．
12、（如图（1），在矩形中，，在边上，．沿，，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图（2）．
（Ⅰ）试判断图（2）中直线与的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若平面平面，证明：平面．
12、【解答】证明：（Ⅰ）．理由如下：
连结，分别取，的中点，，连结，，，由图（1）
可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，
平面平面，交线为，平面，
平面．
同理得，平面，．
又四边形为平行四边形，
．
，分别是，的中点，
．
（Ⅱ）证明：，平面，平面
面
平面，面平面
由（Ⅰ）问有平面．
平面．
13、如图，边长为5的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
13、【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）.
【解析】（1）∵是正方形，∴，又平面平面
且平面平面，∴，
（2）连接
∵是矩形，∴是的中点，∴是的中点，
又是的中点，∴∥
而平面，平面，∴∥平面
（3）过点作交线段于点，则点即为所求.
∵平面，∴，
又∵，∴平面，∴，
∵与相似，∴，
而，，∴.
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