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浙教版九年级上册数学单元质量检测（较难）
二次函数（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题3分，共30分）
1．将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
2．已知抛物线，它与x轴的两个交点间的距离为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．二次函数，当取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是（　　）
A． B．轴 C． D．轴
5．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　)
A． B． C． D．
6．已知抛物线，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线、关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．将抛物线向右平移2.5个单位
B．将抛物线向右平移3个单位
C．将抛物线向右平移4个单位
D．将抛物线向右平移5个单位
7．如图，在中，，点M从点C出发，沿的路径以的速度运动，点N从点B出发沿的路径以的速度运动，点M，N同时出发，当点M到达点B时，点N也随之停止运动，连接MN．设点M的运动路程为xcm，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，请根据所给的数据，则支柱的长度为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
9．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD=AD=9时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
A．8 B．3 C．2 D．6
10．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．请写出一条经过原点的抛物线解析式 ．
12．抛物线y＝mx2＋2mx﹣1的对称轴是 ．
13．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线顶点坐标为，那么所得新抛物线的表达式是 ．
14．二次函数的最小值是
15．如图，抛物线经过点，.若点到轴的距离小于2，则的取值范围是 .
16．如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ．
17．已知二次函数，观察下表：
的值 0
的值 0 3 4 3
则关于的一元二次方程的解为 ．
18．已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为 ．
三、解答题（38分）
19．已知京润生物制品厂生产某种产品的年产量不超过800吨，生产该产品每吨所需相关费为10万元，且生产出的产品都能在当年销售完．产品每吨售价y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系如图所示
（1）当该产品年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣相关费用）
（2）当该产品年产量为多少吨时，该厂能获得当年销售的是大毛利润？最大毛利润多少万元．
20．如图抛物线交x轴于点A(-1，0)和点B(3，0)．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若该抛物线y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3)，在该抛物线上，求四边形ACFD的面积
21．如图，已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为．其对称轴交轴于点，点在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．
(1)当时，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，当时，求点的坐标；
22．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．
（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为　 　元/千克；
（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．
①求这种化工原料的进价；
②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？
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参考答案：
1．D
2．C
3．A
4．A
5．A
6．D
7．A
8．C
9．B
10．B
11．y=x （答案不唯一）
【分析】已知抛物线的一般形式是：y=ax +bx+c，可以先确定二次项系数，一次项系数，把原点的坐标代入可得常数项，即可确定函数解析式．
【详解】解：假设函数解析式是：y=x +c．
把（0，0）代入得到：c=0．
即二次函数解析式是y=x ．
故答案为：y=x （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式．解答本题的关键是熟练掌握抛物线的一般形式．
12．直线
【分析】抛物线的对称轴方程为：直线 根据公式直接计算即可得到答案.
【详解】解：抛物线y＝mx2＋2mx﹣1的对称轴是直线：
故答案为：直线
【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握求解二次函数的对称轴方程是解本题的关键.
13．.
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【详解】∵原抛物线解析式为y=2x2，顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（1，2），∴平移后的抛物线的表达式为：y=2（x﹣1）2+2．
故答案为y=2（x﹣1）2+2．
【点睛】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
14．
【分析】根据二次函数的增减性即可得．
【详解】解：对于二次函数，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
15．
【分析】根据已知条件求出解析式，可知函数最小值为1，根据题意判断求解即可．
【详解】把代入解析式，得.．
．顶点坐标为．
即函数最小值为1．
当点到轴的距离小于2时，即，
函数可以取得最小值为1.
当时，.当时，．
的取值范围为，
故答案为：1≤n＜10．
【点睛】本题主要考查了二次函数最值问题，找出顶点坐标，根据题意进行最值分析是本题的基本思路．
16．
【分析】将变形为：，根据，则，由此可得不等式的解集是．
【详解】解：变形为：，
∵，
∴，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与解析式的性质，解一元一次不等式，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
17．
【分析】根据题意可得点都在二次函数的图象上，从而得到二次函数的对称轴为直线，进而得到点关于对称轴的对称点为，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点都在二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴关于的一元二次方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是根据题意得到二次函数的对称轴，属于中考常考题型．
18．2
【分析】先联立两个函数的解析式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，然后根据和均为整数可求出和的值，由此即可得．
【详解】解：联立，
整理得：，
抛物线与直线的两个不同交点分别为，，
和是一元二次方程的两个不相等的根．
由根与系数的关系可知，，，
则，即，
和均为整数，
和均为整数，
不妨设，
则，
解得，
所以，即，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的联系是解题关键．
19．（1）当该产品年产量为500吨时，当年可获得7500万元毛利润；（2）当该产品年产量为800吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润，最大毛利润是9600万元．
【分析】（1）根据题意可以求得产品每吨售价y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式，从而可以列出相应的方程，本题得以解决；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得当该产品年产量为多少吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润，最大毛利润多少万元．
【详解】（1）设产品每吨售价y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系是y＝ax+b，
则，得，
∴y＝﹣0.01x+30，
（﹣0.01x+30）x﹣10x＝7500，
解得，x1＝500，x2＝1500（舍去），
答：当该产品年产量为500吨时，当年可获得7500万元毛利润；
（2）设该厂能获得当年销售的毛利润为w万元，
w＝（﹣0.01x+30）x﹣10x＝﹣0.01（x﹣1000）2+10000，
∵0≤x≤800，
∴当x＝800时，w取得最大值，此时w＝9600，
答：当该产品年产量为800吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润，最大毛利润是9600万元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程和函数解析式．
20．(1)抛物线解析式为y= - x2+2x+3；
(2)四边形ACFD的面积为4；
【分析】(1) 由A，B两点的坐标，利用特定系数法即可求得抛物线解析式；
(2)连接CD，则可知CD//x轴，由A、F的坐标可知F，A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积．
（1）
∵抛物线交x轴于点A(-1，0)和点B(3，0)，可得：
，
解得 ，
抛物线解析式为y= - x2+2x+3；
（2）
连接CD
∵y=-x2+2x+3=- (x-1)2+4，
∴F (1，4)，C（0，3），
∵ D (2， 3)，
∴CD=2，且CD//x轴，
∵A (-1，0)，
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系教法、三角形的面积、 二次函数的性质、及转化思想等知识，在(2)中注意把四边形转化为两个三角形，本题考的知识点较多，综合性较强，难度适中．
21．(1)
(2)
(3)或22
【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；
（2）先确定出直线解析式，再由确定出直线解析式，利用方程组确定出交点坐标；
（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，即选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底．
【详解】（1）解：，
对称轴为，，，
，
抛物线的顶点为，其对称轴交轴于点，
，
，
，
（2）解：，，
直线解析式为，
，
设直线解析式为，
在直线上，
，
直线解析式为，
由，
，（舍），
；
22．（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得a，k，b的值，根据图象即可得出不等式的解集；（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），由此可得PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．再根据S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，代入数据即可得S△APB与m的二次函数关系式，利用二次函数求最值的方法求得m的值及S△APB 的值最大．再求得点P的坐标即可；（3）（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【详解】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，
解得：，
所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，
关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．
∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC
＝
＝
＝．
∵＜0，，﹣1＜m＜2，
∴当时，S△APB 的值最大．
∴当时，，S△APB＝，
即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）
（3）存在三组符合条件的点，
当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），
Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（1）50；（2）①这种化工原料的进价为40元/千克；②公司至少需62天才能还清借款．
【分析】（1）设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，根据题意列出关于x的方程，然后求解即可；
（2）①设这种化工原料的进价为a元/千克，根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得原料的进价；
②根据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款．
【详解】解：（1）设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，
（60﹣x）×2+20=40，
解得：x=50，
故答案为50；
（2）①设这种化工原料的进价为a元/千克，
当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+（60﹣46）×2=48（千克），
则（46﹣a）×48=108+90×2，
解得，a=40，
即这种化工原料的进价为40元/千克；
②设公司某天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，
则y=（x﹣40）[20+2（60﹣x）]=﹣2（x﹣55）2+450，
∴当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，
设公司需要t天还清借款，
则（450﹣108﹣2×90）t≥10000，
解得，t≥61，
∵t为整数，
∴t=62．
答：公司至少需62天才能还清借款．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

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