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新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第二册
第7章知识点清单
目录
第7章　计数原理
7. 1　两个基本计数原理
7. 2　排列
7. 3　组合
7. 4　二项式定理
第7章　计数原理
7. 1　两个基本计数原理
一、分类计数原理（加法原理） Comment by un Y:
1. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
二、分步计数原理（乘法原理）
1. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
三、两个基本计数原理的比较
1. 分类计数原理与分步计数原理的比较
分类计数原理 分步计数原理
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方式中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事
相同点 都可用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
四、两个基本计数原理的选择与应用
1. 应用分类计数原理解题的一般思路
2. 应用分步计数原理解题的一般思路
应用分步乘法原理时，要确定好顺序，还要注意元素是否可以重复选取.
3. 两个计数原理的综合应用
(1)类中有步
从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法.
(2)步中有类
从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法.
“类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可.
五、解决计数问题的常用方法
1. 在计数问题中常涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素.
2. 当涉及元素数目不大时，一般选择用列举法、数形图法. 当涉及元素数目较大或情况比较复杂时，一般有两种方法：
(1)直接法：直接应用分类计数原理或分步计数原理解题.
(2)间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的方法数，从
而得到正确答案.
3. 涂色(种植)问题一般是直接利用两个基本计数原理求解，常用方法如下：
(1)根据区域的不同，以区域为主分步计数，用分步计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，用分类计数原理分析.
7. 2　排列
一、排列、排列数与排列数公式
排列 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，其中n，m∈N*，且m≤n
二、全排列、阶乘的概念及相关结论
1. 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列.
2. n的阶乘
在排列数公式中，当m=n时，即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1，n(n-1)·(n-2)×…×3
×2×1称为n的阶乘，通常用n!表示，即=n!.
3. 阶乘的相关结论
(1)规定：0!=1；
(2)排列数公式的另一种形式： = (其中n，m∈N*，且m≤n).
三、排列数及其运算
1. 排列数运算的方法与技巧
(1)拆项技巧
①n·n!=(n+1)!-n!； ②=-.
(2)化简技巧
①n!=n·(n-1)!=n(n-1)·(n-2)!；
②=n+m=.
2. 解有关排列数的方程或不等式的步骤

四、有限制条件的排列问题
1. “在”与“不在”的问题
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题是典型的特殊元素或特殊位置问题. 解决“在”与“不在”的排列问题的原则是谁“特殊”谁优先. 解题思路如下：
2. “相邻”与“不相邻”问题
限制条件 解题策略
元素相邻 通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看成一个整体并与其他元素进行排列
元素不相邻 通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中
3. “定序”问题
在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(m7. 3　组合
一、组合、组合数的概念
1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2. 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
二、组合数公式与性质
1. 公式：===. (n，m∈N*，并且m≤n)
2. 特殊组合数：=1， =n， =1.
3. 组合数的性质：==+.
三、组合数的性质与运算
1. 组合数公式的主要适用范围
形式 主要适用范围
乘积式= 含具体数字的组合数的求值
阶乘式= 含字母的组合数的有关变形及证明
2. 组合数的性质及应用
(1)性质“=”的意义及作用
(2)性质“=+”的顺用、逆用、变形用
顺用是将一个组合数拆成两个；
逆用则是“合二为一”；
变形式=-，为某些项相互抵消提供了方便，在解题时要注意灵活运用.
四、分组与分配问题
分组问题和分配问题是有区别的，前者是组与组之间只要元素个数相同，就是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.
1. 分组问题的求解策略
常见形式 处理方法
非均匀不编号分组 将n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为 A=···…·
均匀不编号分组 将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为 (其中A为非均匀不编号分组中的分法数). 如果再有k组均匀分组，则应再除以
非均匀编号分组 将n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，
且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·
均匀编号分组 将n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为·
2. 相同元素分配问题的处理策略
“n个相同元素分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用隔板法求解.
(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有种，即给n个元素中间的(n-1)
个空隙中插入(m-1)个隔板.
(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即将n个相同元素与(m-1)个相同隔板进行排序，在(n+m-1)个位置中选(m-1)个安排隔板.
五、排列、组合的综合应用问题
1. 正确区分“有序”与“无序”
区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”，无序的问题用组合的知识解答，有序的问题用排列的知识解答.
2. 辩证看待“元素”与“位置”
排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定. 有时“元素选位置”解决问题更简捷，有时“位置选元素”效果会更好.
7. 4　二项式定理
7. 4. 1　二项式定理
一、二项式定理及相关的概念
1. 公式(a+b)n=anan-1b+…+an-r·br+…+bn(n∈N*)叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，它一共有n+1项，其中an-rbr叫作二项展开式的第r+1项(也称通项)，用Tr+1表示，即Tr+1=an-rbr . (r=0，1，. . . ，n)叫作第r+1项的二项式系数.
二、求二项展开式中的特定项(项的系数)
1. 求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项，一般先写出展开式的通项，然后令其所有的字母的指数都等于整数. 解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
三、三项展开式问题
1. 三项式求特定项的方法
(1)因式分解法：先通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法：先将三项式分成两组(一项组和两项组)，用二项式定理展开，再把其中的两项组展开.
(3)利用组合知识：把三项式(a+b+c)n看成n个式子(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后把各个同类项合并.
四、求展开式的系数和(赋值法)
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，
灵活赋予字母不同的值. 一般地，若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)展开式中各项系
数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
7. 4. 2　二项式系数的性质及应用
一、二项式系数的性质
对称性 在(a+b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即= (m∈N，n∈N*，m≤n)
增减性与最 大值 增减性：当r<时， <；当r>时， <. 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且最大
各二项式系数的和 (1)二项展开式中，各二项式系数的和+++…+=2n； (2) +++…=+++…=2n-1
特殊情况 在杨辉三角中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和， 即+=
二、二项式系数与系数的最大项
1. 展开式中二项式系数最大项的确定方法
(1)当n为偶数时，中间一项（第+1项，即）的二项式系数最大；
(2)当n为奇数时，中间两项（第项和第+1项，即和）的二项式系数
相等且最大.
2. 展开式中系数最大的项的确定方法
(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确列出不等式组即可.
(2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组.
三、二项式定理的应用
1. 利用二项式定理解决整除或求余数问题
利用二项式定理解决整除或求余数问题，关键是要巧妙构造二项式，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一两项就可以了.
2. 利用二项式定理进行近似计算
利用二项式定理进行近似计算，其关键在于构造恰当的二项式(p+q)n(n∈N*，p∈Z，|q|<1)，并根据近似要求，对其展开式的项合理取舍，从而确定其近似值(p+q)n.
3. 利用二项式定理证明有关不等式
利用二项式定理证明组合数不等式，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证. 证明不等式时，应注意运用放缩法，可将对结论不构成影响的若干项去掉.
四、杨辉三角问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

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