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2022-2023学年浙江省宁波市南三县七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水以下通过平移节水标志得到的图形是( )
A. B. C. D.
2. 下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
3. 神舟十三号飞船于年月日圆满发射成功，飞船搭载的一种高控制芯片探针面积为，用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 为了解宁波市七年级学生的视力情况，从中随机调查了名学生的视力，下列说法正确的是( )
A. 宁波市七年级学生是总体 B. 每一名七年级学生是个体
C. 名七年级学生是总体的一个样本 D. 样本容量是
6. 如图，以下说法错误的是( )
A. ，是内错角
B. ，是同位角
C. ，是内错角
D. ，是同旁内角
7. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为( )
A. B.
C. D.
8. 若关于的分式方程有增根，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
10. 在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片，按图，图两种方式放置两个图中均有重叠部分，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，当时，若知道下列条件，能求值的是( )
A. 边长为的正方形的面积
B. 边长为的正方形的面积
C. 边长为的正方形的面积与两个边长为的正方形的面积之和
D. 边长与之差
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 使分式有意义的的取值范围是 ．
12. 将数据，，，，，，，，，分组，这一组的频率是______ ．
13. 请你任写出一个解是的二元一次方程组______不含
14. 如图所示，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若则的度数为______ ．
15. 定义一种新运算，已知，当时，；当时，若，则 ______ ．
16. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序．
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：，
．
18. 本小题分
因式分解：
，
．
19. 本小题分
解方程：
，
．
20. 本小题分
化简代数式，并求当时代数式的值．
21. 本小题分
某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图部分信息未给出．
求本次被调查的学生人数；
补全条形统计图；
喜爱篮球项目的学生人数所对应的扇形圆心角为______ 度
该校共有名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？
22. 本小题分
如图，，，，点，，在同一条直线上．
请说明与平行．
若，求的度数．
23. 本小题分
为了迎接在杭州举行的第届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为元个，明信片的进价为元套一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高元若顾客花元购买的吉祥物钥匙扣数量与花元购买的明信片数量相同．
求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行折销售某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润元，请问有几种购买方案．
24. 本小题分
若一个整数能表示成是整数的形式，则称这个数为“完美数”例如，所以是“完美数”再如，是整数，所以也是“完美数”．
请直接写出一个小于的“完美数”，这个“完美数”是______ ；
判断： ______ 请填写“是”或“不是”“完美数”；
已知是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
如果数，都是“完美数”，，试说明也是“完美数”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项中的图： 通过平移能与上面的图形重合．
故选：．
平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可．
本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：方程是二元一次方程，选项A符合题意；
B.方程是二元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程是三元一次方程，选项C不符合题意；
D.方程是分式方程，选项D不符合题意．
故选：．
利用二元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：与无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断，进而得出答案．
本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：宁波市七年级学生的视力情况是总体，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.每一名七年级学生的视力情况是个体，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.名七年级学生的视力情况是总体的一个样本，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.样本容量为，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考察的对象．总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6.【答案】
【解析】解：、内错角是在截线的两侧，并且在两条被截线之间，图中与是在截线的两侧，但不在两条被截线之间，所以不是内错角，错误；
B、图中与是在截线的同侧，在两条被截线同方向上，是同位角，正确；
C、图中与是在截线的两侧，在两条被截线之间，是内错角，正确；
D、图中与是在截线的同侧，在两条被截线之间，是同旁内角．故选A．
本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断．
对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
7.【答案】
【解析】解：原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
8.【答案】
【解析】解：关于的分式方程，
去分母可化为，
又因为关于的分式方程，即有增根，
所以是方程的根，
所以，
故选：．
根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．
9.【答案】
【解析】解：设共有人，辆车，
依题意得：．
故选：．
设共有人，辆车，根据“如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图可得，
，
，
，
，
，
已知边长为的正方形的面积，可求出值；
故选：．
根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可得到答案．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是表示出和．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，解得：，
故答案为：
根据分式有意义的条件：分母不等于即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
12.【答案】
【解析】解：这一组包括、，共个，
故这一组的频率是：．
故答案为：．
根据频率的计算公式：频率频数除以总数进行计算即可．
此题主要考查了频数与频率，解题的关键是掌握频率的计算方法．
13.【答案】
【解析】解：的解是，
故答案为：．
根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可．
本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．
14.【答案】
【解析】解：如图，
由题意可知，，，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，再利用平角的定义可得，代入计算即可求解．
本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
15.【答案】或
【解析】解：根据新运算的定义，可分为以下两种情况：
当时，，
可转化为：，
去分母得：，
解得：，
检验后知道：是原方程的解；
当时，，
可转化为：，
去分母得：，
解得：，
检验后知道：是原方程的解．
综上所述：原方程的解为：，．
故答案为：或．
根据新运算的定义分两种情况进行讨论：当时，根据新运算的定义得，然后解分式方程求出即可；当时，根据新运算的定义得，然后解分式方程求出即可．
此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是熟练掌握利用去分母的方法解分式方程，难点是理解题目给出的新运算的定义，验根是解答此题的易错点之一．
16.【答案】
【解析】解：根据规律，
故答案为：．
根据规律，是展开式子中的第二项，由第二项单项式特征确定系数的值．
本题考查了整式运算中的杨辉三角，数值展开项系数的特点是突破本题的关键．
17.【答案】解：原式
．
原式
．
【解析】依据题意，根据乘方的意义、负整数指数幂及零指数幂即可得解；
依据题意，根据平方差公式及整式的除法法则计算可以得解．
本题主要考查了实数的运算及整式的混合运算，解题时要熟练掌握并准确运算．
18.【答案】解：
；
．
【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
利用提公因式法进行分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式，最后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
21.【答案】
【解析】解：根据题意得：
人；
答：本次被调查的学生人数是人；
喜欢足球的有人，
喜欢跑步的有人，
补全条形统计图如下：
，
故答案为：；
估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多人．
用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图；
用乘以喜爱篮球项目的学生人数所占比例即可得；
用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少．
本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】解：，，
，
．
，
，
；
，，
，
．
【解析】先根据，得出，故可得出，再由得出，故可得出结论；
由得出的度数，再由直角三角形的性质可得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出是解答此题的关键．
23.【答案】解：设吉祥物钥匙扣的售价为元，则明信片的售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：吉祥物钥匙扣的售价为元，明信片的售价为元；
设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，
或，
有种购买方案，
答：有种购买方案．
【解析】设吉祥物钥匙扣的售价为元，则明信片的售价为元，根据顾客花元购买的吉祥物钥匙扣数量与花元购买的明信片数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，由题意：商店对吉祥物钥匙扣进行折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】 是
【解析】解：，
是“完美数”，
，
是“完美数”；
故答案为：答案不唯一，是；
，
为“完美数”，
，
；
，
设，，
，
是完美数．
根据新定义，判断，并写出一个小于的“完美数”即可求解；
先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可；
先把代数式化简，根据新定义和多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可结出结论．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
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