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2023-2024学年九年级上册数学人教版
第二十二章《二次函数》单元测试题
一、单选题(共10小题，满分40分)
1．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3m B．m C．4m D．9m
2．新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图像数”，如：的“图像数”为，，，若“图像数”是，，的二次函数的图像与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A． B． C．或2 D．2
3．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
4．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（，0） C．（2，0） D．（0，）
5．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（﹣1，0），则下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2
B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，﹣3）
C．图象的顶点坐标D为（1，﹣4）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
6．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1或m＞ B．m＜﹣1或＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1或1＜m＜3
7．下表中所列的，的6对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标：
0 3 4
11 6 3 6 11
若，是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．该函数的最小值为3 D．当，时（为常数），
8．下列m的取值中，能使抛物线y=x2+（2m﹣4）x+m﹣1顶点在第三象限的是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知二次函数y1=mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2=2x﹣2，有下列结论：
①当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；
②二次函数y1=mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；
③当m=1时，y1≤y2；
④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）（共8小题，满分32分）
11．已知点，一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点．
12．二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后图象的函数表达式为．
13．已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列说法：①图象关于直线x＝1对称；②函数y＝ax2+bx+c的最小值是﹣4；③﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤b+c＜0．其中错误的序号是．
14．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点（，），若在抛物线上存在点，满足，则点的坐标为．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，并且过和，下面四个结论中，
①
②点的坐标为
③
④若直线与抛物线有两个交点，则

所有正确结论的序号是．
16．若关于x的一元二次方程a（x＋m）2＝3的两个实数根x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝a（x＋m﹣2）2﹣3与x轴的交点坐标是．
17．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2019在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2019在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2018B2019A2019都为等边三角形，则△A2018B2019A2019的边长为．
18．如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为．
三、解答题
19．如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm2.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当增加的面积y＝20 cm2时，求相应的x是多少？
20．定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；
(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
21．在同一平面直角坐标系中画出函数和y= -x2+1的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）抛物线y= -x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线？
（2）函数y= -x2+1，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_____________；其图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是________________.
（3）试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
22．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线y＝x+t于点Q．
①若点P在第二象限内，t＝3，PQ＝6，求点P的坐标；
②若恰好存在三个点P，使得PQ＝，求t的值．
23．如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点．
(1)若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．
24．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
①求△PBC面积最大值和此时m的值；
②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．
参考答案：
1．D
2．C
3．C
4．D
5．D
6．D
7．D
8．B
9．C
10．D
11．
12．y=（x-3）2+4
13．④
14．（，）或（，）或（，）
15．①④/④①
16．(5，0)和(1，0)
17．2019
18．12
19．(1) y＝x2＋8x;(2) 2 cm.
20．(1)
(2)，，、是一对共轭抛物线
21．（1）抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线;（2）>0；=0，1；（0，1），（-1，0）和（1，0）;（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.
22．(1)抛物线顶点坐标为（2， -1）；
(2)①点P坐标为（-1，8）；②t =-1．
23．(1)；
(2)点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是；
(3)-1或5．
24．(1)
(2)①最大值为8，m＝2；②存在，或

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