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6-2 等差数列
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
6-2 平面向量的概念及线性运算 1
一、主干知识 1
考点1：等差数列的有关概念 2
考点2：等差数列的有关公式 2
考点3：等差数列的常用性质 2
【常用结论总结】 2
二、分类题型 4
题型一 等差数列基本量的运算 4
题型二 等差数列的判定与证明 5
题型三 等差数列的性质 6
命题点1　等差数列项的性质 6
命题点2　等差数列前n项和的性质 6
三、分层训练：课堂知识巩固 7
一、主干知识
考点1：等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
考点2：等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
考点3：等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
（5）S2n－1＝(2n－1)an.
（6）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（7）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
【常用结论总结】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
二、分类题型
题型一 等差数列基本量的运算
（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和.已知，.
(1)求的通项公式；
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，则的最小值为______．
（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.
（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，则数列的公差________．
（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为__________．
（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则______.
题型二 等差数列的判定与证明
（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
题型三 等差数列的性质
命题点1　等差数列项的性质
（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3 B．5 C．7 D．9
（多选）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列
（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则__________.
（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则______．
（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．
（2023·江苏·校联考模拟预测）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则________．
（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设的内角所对边分别为，若.
(1)求证：成等差数列；
(2)若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.
命题点2　等差数列前n项和的性质
（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9 B． C．12 D．
（2022春·高二单元测试）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023春·高二课时练习）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
（2019·全国·统考高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
（2023·河南·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，且，则______．
(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·贵州贵阳·高三统考期中）在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．9
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则______．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2021 北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，， （单位： 成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则　　
A．64 B．96 C．128 D．160
2．（2020 新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）　　
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
3．（2020 北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列　　
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
4．（2019 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知，，则　　
A． B． C． D．
5．（2018 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则　　）
A． B． C．10 D．12
6．（2017 新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为　　
A． B． C．3 D．8
7．（2017 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为　　
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2017 浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022 乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差　　．
10．（2020 山东）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为　　．
11．（2020 新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和．若，，则　　．
12．（2019 新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则　　．
13．（2019 江苏）已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是　　．
14．（2019 新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则　　．
15．（2019 北京）设等差数列的前项和为，若，，则　　，的最小值为 　　．
16．（2018 上海）已知是等差数列，若，则　　
17．（2018 北京）设是等差数列，且，，则的通项公式为　　．
18．（2018 上海）记等差数列的前项和为，若，，则　　．
19．（2021 新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
20．（2021 乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
21．（2019 北京）设是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
22．（2019 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
23．（2018 新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
1．（2021 西城区一模）在无穷等差数列中，记，2，，则“存在，使得”是“为递增数列”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021 宿州三模）已知为等差数列且，，为其前项的和，则　　
A．142 B．143 C．144 D．145
3．（2021 资阳模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．165 B．176 C．180 D．187
4．（2021 长安区二模）等差数列中，，前项和为，若，则　　
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
5．（多选）（2023 3月份模拟）已知等差数列的前项和为，满足，，下列说法正确的是　　
A．
B．
C．的最大值为
D．的前10项和为
6．（多选）（2022 惠州二模）已知为等差数列，其前项和，若，，则　　
A．公差 B．
C． D．当且仅当时，
7．（2022 唐山二模）已知数列满足，，则前5项和的最大值为 　　．
8．（2021 浙江模拟）已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是　　．
9．（2021 贵溪市校级模拟）等差数列中，，，则　　．
1．（2018 镇海区校级模拟）等差数列中，前项和，前项和，则　　
A．小于4 B．等于4 C．大于4 D．大于2且小于4
2．（2022 南京自主招生）若数列，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的取值范围是　 　．
3．（2020 苏州二模）等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，，则使数列的前项和最大的正整数的值是　　．
6-2 等差数列
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
6-2 平面向量的概念及线性运算 1
一、主干知识 1
考点1：等差数列的有关概念 2
考点2：等差数列的有关公式 2
考点3：等差数列的常用性质 2
【常用结论总结】 2
二、分类题型 4
题型一 等差数列基本量的运算 4
题型二 等差数列的判定与证明 5
题型三 等差数列的性质 6
命题点1　等差数列项的性质 6
命题点2　等差数列前n项和的性质 6
三、分层训练：课堂知识巩固 7
一、主干知识
考点1：等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
考点2：等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
考点3：等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
（5）S2n－1＝(2n－1)an.
（6）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（7）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
【常用结论总结】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
二、分类题型
题型一 等差数列基本量的运算
（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【解答】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是.
又，∴
，即的最小值是.故选：A
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】设等差数列的公差为，则，
故，故，故选：A.
（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为数列为等差数列，且，
设数列的公差为，首项为，
所以，则，
所以，所以，
所以.故选：B.
（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和.已知，.
(1)求的通项公式；
【解答】（1）因为时，，所以，两式相减得到，化简整理得，所以，当时，，
又当，，又，解得.
所以，当时，，
又当时，，满足，当时，，不满足，
综上所述，.
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，则的最小值为______．
【解答】令，，则，所以，
令，则，所以，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
方法一：令
，
当时，，则，
令，得，所以，所以．
方法二：
令，解得，
即
所以的最小值为．故答案为：.
（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.
【解答】设的公差为，由题意得.则，所以.
故答案为：.
（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，则数列的公差________．
【解答】因为，所以，
所以，解得，故答案为：．
（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为__________．
【解答】设等差数列的首项为，公差为，则，
所以，解得，所以，故答案为：．
（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则______.
【解答】设等差数列的公差为，因为，则，所以，
因为，，成等比数列，所以，即
解得或(不合题意，舍去)，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：1012
题型二 等差数列的判定与证明
（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
【解答】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
【解答】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
【解答】（1）因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
【解答】（1）因为，
当时，，即，易知，则，
当时，，所以，即，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
【解答】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
【解答】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【解答】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
【解答】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．因此数列为“M—数列”.
题型三 等差数列的性质
命题点1　等差数列项的性质
（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】由题设，则，而，若等差数列公差为，则，
所以，通项公式为，故.故选：C
（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列
【解答】A.若a，b，c成等比数列，则，则，所以，，成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列，，不是等差数列，故B错误；C.若a2，b2，c2成等比数列，则，或，若，则a，b，c不成等比数列，故C错误；D.若a，b，c成等差数列，则，则成立，所以，，成等比数列，故D正确.故选：AD
（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则__________.
【解答】因为在等差数列中，有，所以由，
得，，又，所以.故答案为：24
（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则______．
【解答】设公差为d，因为是等差数列，所以，
化简得，即，所以．故答案为：70
（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．
【解答】由，则，
由，则，所以.故答案为：
（2023·江苏·校联考模拟预测）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则________．
【解答】因为是与的等差中项，数列是等比数列，所以，即，解得，
所以，故答案为：．
（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设的内角所对边分别为，若.
(1)求证：成等差数列；
(2)若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.
【解答】（1）因为，整理得，
即，
由正弦定理可得：，即成等差数列.
（2）由题意可得：，则，不妨设，
因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，即，整理得，所以，可得周长，可知当时，周长的取到最小值15.
命题点2　等差数列前n项和的性质
（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9 B． C．12 D．
【解答】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，故选：A．
（2022春·高二单元测试）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，
∵，即，，∴，，∴，，∴.故选：A.
（2023春·高二课时练习）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】因为，又，所以，
所以，即，设等差数列的公差为，
则，所以，又，
所以，所以．故选：C.
（2019·全国·统考高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【解答】因，所以，即，所以．
（2023·河南·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，且，则______．
【解答】因为，所以，解得．
又，所以，所以．故答案为：182．
(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：C.
（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为，为等差数列，所以，，所以，故选：D
（2022秋·贵州贵阳·高三统考期中）在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．9
【解答】设等差数列的公差为，则，
所以，所以．故选：A．
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则______．
【解答】设等差数列的首项为，公差为
由，则
所以，且及
所以；故答案为：.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2021 北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，， （单位： 成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则　　
A．64 B．96 C．128 D．160
【解答】解：和是两个等差数列，且是常值，由于，，
故，
由于
所以．
另解：，解得：
故：．
故选：．
2．（2020 新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）　　
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【解答】解：方法一：设每一层有环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为，且公差，
由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，
则，
则，
则三层共有扇面形石板块，
方法二：设第环天心石块数为，第一层共有环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，
下层比中层多729块，
，
，
，解得，
，
故选：．
3．（2020 北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列　　
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【解答】解：设等差数列的公差为，由，，得，
．
由，得，而，
可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知，，，为最大项，
自起均小于0，且逐渐减小．
数列有最大项，无最小项．
故选：．
4．（2019 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：设等差数列的公差为，
由，，得
，，
，，
故选：．
5．（2018 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则　　）
A． B． C．10 D．12
【解答】解：为等差数列的前项和，，，
，
把，代入得
．
故选：．
6．（2017 新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为　　
A． B． C．3 D．8
【解答】解：等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，
，
，且，，
解得，
前6项的和为．
故选：．
7．（2017 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为　　
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：为等差数列的前项和，，，
，
解得，，
的公差为4．
故选：．
8．（2017 浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，
，
，
，
故“”是“”充分必要条件，
故选：．
9．（2022 乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差　2　．
【解答】解：，
，
为等差数列，
，
，解得．
故答案为：2．
10．（2020 山东）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为　　．
【解答】解：将数列与的公共项从小到大排列得到数列，
则是以1为首项、以6为公差的等差数列，
故它的前项和为，
故答案为：．
11．（2020 新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和．若，，则　25　．
【解答】解：因为等差数列中，，，
所以，
，即，
则．
故答案为：25
12．（2019 新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则　4　．
【解答】解：设等差数列的公差为，则
由，可得，，
，
故答案为：4．
13．（2019 江苏）已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是　16　．
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
则，解得．
．
故答案为：16．
14．（2019 新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则　100　．
【解答】解：在等差数列中，由，，得，
．
则．
故答案为：100．
15．（2019 北京）设等差数列的前项和为，若，，则　0　，的最小值为 　　．
【解答】解：设等差数列的前项和为，，，
，
解得，，
，
，
或时，取最小值为．
故答案为：0，．
16．（2018 上海）已知是等差数列，若，则　15　
【解答】解：是等差数列，，
，
解得，
．
故答案为：15．
17．（2018 北京）设是等差数列，且，，则的通项公式为　　．
【解答】解：是等差数列，且，，
，
解得，，
．
的通项公式为．
故答案为：．
18．（2018 上海）记等差数列的前项和为，若，，则　14　．
【解答】解：等差数列的前项和为，，，
，
解得，，
．
故答案为：14．
19．（2021 新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
由于为正整数，
故的最小正值为7．
20．（2021 乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
【解答】解：（1）证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得，
由（1），可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
21．（2019 北京）设是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）是等差数列，，且，，成等比数列．
，
，
解得，
．
（Ⅱ）由，，得：
，
或时，取最小值．
22．（2019 新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：的取值范围是，．
23．（2018 新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【解答】解：（1）等差数列中，，，
，，解得，，
；
（2），，，
，
当时，前项的和取得最小值为．
1．（2021 西城区一模）在无穷等差数列中，记，2，，则“存在，使得”是“为递增数列”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若为递增数列，又，
当为奇数时，，
递增数列，，，
即，使，
②若，使，
由，
即，
当为奇数时，，，递增数列，
当为偶数时，，，递减数列，
综上所述，，使是为递增数列必要不充分条件，
故选：．
2．（2021 宿州三模）已知为等差数列且，，为其前项的和，则　　
A．142 B．143 C．144 D．145
【解答】解：解法一、等差数列中，设公差为，
由，，
得，
解得，
所以．
解法二、等差数列中，，，
所以前项的和．
故选：．
3．（2021 资阳模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．165 B．176 C．180 D．187
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，可得，
解得，，
所以，
所以．
故选：．
4．（2021 长安区二模）等差数列中，，前项和为，若，则　　
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
【解答】解：等差数列中，，前项和为，
所以也是等差数列，可设公差为，
则首项为，
由，解得，
所以，
所以．
故选：．
5．（多选）（2023 3月份模拟）已知等差数列的前项和为，满足，，下列说法正确的是　　
A．
B．
C．的最大值为
D．的前10项和为
【解答】解：等差数列中，，所以，解得，
又，所以，
所以公差，
所以，，选项错误；
前项和为，选项正确；
令，得，所以，，的最大值是，选项正确；
因为，所以的前10项和为，选项正确．
故选：．
6．（多选）（2022 惠州二模）已知为等差数列，其前项和，若，，则　　
A．公差 B．
C． D．当且仅当时，
【解答】解：等差数列中，，，
所以，
所以，
所以，，选项正确；
所以公差，选项正确；
由题意知，最大，即，选项正确；
由，且公差，
所以当时，，选项错误．
故选：．
7．（2022 唐山二模）已知数列满足，，则前5项和的最大值为 　8　．
【解答】解：已知数列满足，，则前5项分别为 0，，0，，0；
或 0，，，，0；或 0，2，0，2，0；或0，2，4，2，0；
故当前5项分别为 0，2，4，2，0 时，
前5项的和最大，为，
故答案为：8．
8．（2021 浙江模拟）已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是　　．
【解答】解：设等差数列的公差为，且，则，
，
，
为等差数列，，（且为公差）
，
，，．
故答案为：．
9．（2021 贵溪市校级模拟）等差数列中，，，则　24　．
【解答】解：设等差数列的公差为，由，，
得，
所以
故答案为：24．
1．（2018 镇海区校级模拟）等差数列中，前项和，前项和，则　　
A．小于4 B．等于4 C．大于4 D．大于2且小于4
【解答】解：设等差数列的公差为，
则，
同理，
则
，
因为，为正整数，且，令，，，
将，代入中得到；代入中得到，
解得，
则．
故选：．
2．（2022 南京自主招生）若数列，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的取值范围是　，或，　．
【解答】解：在等差数列中，；在等比数列中，．
．
当时，，故；
当时，，故．
答案：，或，
3．（2020 苏州二模）等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，，则使数列的前项和最大的正整数的值是　11　．
【解答】解：关于的不等式的解集为，，
，且，
即，
则，，
故使数列的前项和最大的正整数的值是11．
故答案为：11．

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