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6-1 数列的概念
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
6-1 数列的概念 1
一、主干知识 1
考点1：数列及其有关概念， 2
【常用结论总结】 2
二、分类题型 4
题型一 由an与Sn的关系求通项公式 4
题型二 由数列的递推关系求通项公式 5
命题点1　累加法 5
命题点2　累乘法 5
题型三 数列的性质 6
命题点1　数列的单调性 6
命题点2　数列的周期性 6
命题点3　数列的最值 6
三、分层训练：课堂知识巩固 8
一、主干知识
考点1：数列及其有关概念，
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【常用结论总结】
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
二、分类题型
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
（四川·高考真题）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式．
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
（上海·高考真题）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，.
(1)求数列的通项公式；
（陕西·高考真题）已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项．
（安徽·高考真题）已知正项数列的首项．其前n项和，求的通项公式．
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1　累加法
（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式.
（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足
(1)求取得最小值时的值；
(2)若，证明：.
（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．记．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和，求使成立的正整数n的最大值．
（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前项和为，证明：.
数列和满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
命题点2　累乘法
（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，证明：．
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
（2023·浙江·模拟预测）已知是公比为2的等比数列，为正项数列，，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记．求数列的前n项和．
已知是数列的前项和，已知目，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，则正整数n的最小值．
（2022·浙江温州·统考模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，数列的前项和为，证明：．
题型三 数列的性质
命题点1　数列的单调性
（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为d，前n项和为，设；是递减数列，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选）（2023·全国·高三专题练习）定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（ ）
A．数列为递增数列 B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列 D．数列为有界正数列
（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．若数列为单调递增数列，则实数的取值范围为______．
命题点2　数列的周期性
（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
（2023·北京通州·统考三模）数列中，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为________．
若数列满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A． B．2 C．1011 D．2022
（2023·山东潍坊·统考模拟预测）数列1，3，2，…中，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2099年为己未年，那么3035年为________年.
（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的前2023项的积为___________.
命题点3　数列的最值
（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
（2021·陕西渭南·统考三模）已知数列满足，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．7
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2018 上海）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2023 密云区三模）设数列的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
3．（2022 西城区校级三模）记为数列的前项和．若，2，，则　　
A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项
4．（2023 涪城区校级模拟）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为　　
A． B． C． D．
5．（多选）（2022 漳州模拟）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是　　
A．是递增数列 B．是递减数列
C． D．数列的最大项为和
6．（2022 武昌区模拟）若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为　　．
7．（2021 汉中模拟）设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是 　　．
8．（2020 烟台模拟）已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为　　．
9．（2019 如东县校级模拟）已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为　　．
1．（2023 密云区三模）设数列的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
2．（2020 海淀区校级模拟）数列的通项，则数列中的最大值是　　
A． B．19 C． D．
3．（2020 青浦区二模）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则　　．
4．（2022 4月份模拟）已知是公差不为零的等差数列，而是等比数列，其中，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式．
5．（2022 东湖区校级三模）已知等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
6．已知递增的等差数列的首项是1，是其前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
7．已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且．
（1）求，；
（2）求数列的前项和．
8．数列的前项和为，数列是等比数列，公比，且满足，，，成等差数列；
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
1．已知，都是定义在上的函数，，，且，且，，若数列的前项和大于62，则的最小值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022秋 甘泉县期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
6-1 数列的概念
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
6-1 数列的概念 1
一、主干知识 1
考点1：数列及其有关概念， 2
【常用结论总结】 2
二、分类题型 4
题型一 由an与Sn的关系求通项公式 4
题型二 由数列的递推关系求通项公式 5
命题点1　累加法 5
命题点2　累乘法 5
题型三 数列的性质 6
命题点1　数列的单调性 6
命题点2　数列的周期性 6
命题点3　数列的最值 6
三、分层训练：课堂知识巩固 8
一、主干知识
考点1：数列及其有关概念，
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【常用结论总结】
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
二、分类题型
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
【解答】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（四川·高考真题）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式．
【解答】（1）当时，由（1）知，即,
当时，则，
当且时，由得，
两式相减得，即，
故
，
因此 ，
令 ，则即，
即为首项为，公比为b的等比数列，
故 ，
则,时，适合上式，
故.
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
（上海·高考真题）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，.
(1)求数列的通项公式；
【解答】（1）当时，，解得，
当时，由得，两式相减可得，即，所以数列为等比数列，公比为，所以.
（陕西·高考真题）已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项．
【解答】，，当时，，
两式相减得，即，
而是正项数列，于是得当时，，因此数列是公差为5的等差数列，，
又，解得或，
当时，，不成等比数列，
当时，，有，即成等比数列，则，，所以数列的通项公式是.
（安徽·高考真题）已知正项数列的首项．其前n项和，求的通项公式．
【解答】当时，，整理可得，.
又，，是首项为1，公差为2的等差数列. ，当时，，符合通项.
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1　累加法
（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式.
【解答】（1）设的公差为，首项为，因为
所以解得
所以.
（2）由题设，
所以当时，，
将上式累加可得：，
又，则.
又，也适合上式，故.
（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解答】（1）方法1：
，
时，，
累加得：，
时也成立，.
，是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列，，
，，是等差数列.
方法3：
当时，①，
②，
②-①可得：
，
是等差数列，因为.
（2）由（1）知，所以，
方法1：并项求和
当为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
【解答】（1）因为，即，
所以当时，，
将以上各式相加，得，则，
当时也符合上式，故.
（2）由题意.
所以
（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足
(1)求取得最小值时的值；
(2)若，证明：.
【解答】（1）由，得，
累加可得：，
所以，
显然取最小值时，的值为2.
（2）若，则，即，
所以
显然时，，
可得.
（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．记．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和，求使成立的正整数n的最大值．
【解答】（1）由，得，
即，所以，
，解得，，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
，，…，．
将以上个式子累加，得，
即，所以．
（2），得，所以，
由得，即，因为，，
所以满足题意的正整数n的最大值为3．
（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解答】（1）因为，，
所以，故；
（2）证明：当n＝1时，；
当时，，
则，
故；
综上，.
（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前项和为，证明：.
【解答】（1），
.
（2）
∵，∴，
∵单调递增，,
即.
数列和满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解答】（1）因为，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
又，
则，
所以由累加法得；
所以，；
（2）因为，
所以，
所以，
所以
所以
命题点2　累乘法
（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
【解答】（1）解：因为，，
所以，
所以
当时， 满足条件，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以 .
已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解答】（1）由题意： ，
，
，
，将代入上式也成立， ；
（2） ，
.
（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，证明：．
【解答】（1）由及，得，
所以，
当时，有
．
当时，，符合上式，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以，
两式相减，得
，
所以．
因为，所以。
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
（2023·浙江·模拟预测）已知是公比为2的等比数列，为正项数列，，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记．求数列的前n项和．
【解答】（1）因为数列为等比数列，公比为2，首项为，
所以，
所以
由，推得，
所以，，，，，
故，又，
所以当时，，又，
所以．
（2）由题可得，
令，的前n项和为．
所以，
，
相减得，
所以，
所以．
令，的前n项和为，
则，
综上，．
已知是数列的前项和，已知目，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解答】（1）由题，又由，.
可得，.
故.
则当，时，.
又时，，故数列的通项公式是，.
（2）由（1）可知，，
则.
则当为偶数时，
.
当为奇数时，.
综上：，其中.
（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
【解答】（1）因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以.
（2）由（1），，，
则，
则
.
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，则正整数n的最小值．
【解答】（1）当时，，则，即，
，n＝1也满足上式，故；
（2）①，②，
①－②得，
∴，代入，
得，化简得．
∵，
∴正整数n的最小值为11．
（2022·浙江温州·统考模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，数列的前项和为，证明：．
【解答】（1）解：对任意的，，则，
当时，，
因为，则，也满足，
所以，对任意的，.
（2）证明：，
所以，
.
当时，，
当时，.
综上所述，对任意的，.
题型三 数列的性质
命题点1　数列的单调性
（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】由题设且n ≥ 2，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，，则，不满足要求；，总存在，不满足要求；
当，，则，不满足；，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.所以为递增数列有且.
综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B
（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为d，前n项和为，设；是递减数列，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】充分性：若，则，此时无法判断的正负，例如，则，即，可知当时，；当时，；当时，；故无法得出是递减数列，充分性不成立；
必要性：若是递减数列，则，反证：假设，则，
当且时，，这与对，相矛盾，故假设不成立；
例如，则，即成立；例如，则，即成立；故，此时，不能推出，必要性不成立；综上所述：p是q的既不充分也不必要条件.故选：D.
（多选）（2023·全国·高三专题练习）定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（ ）
A．数列为递增数列 B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列 D．数列为有界正数列
【解答】对于A，设，，
当时，，则，
所以当时，，则当时，，
所以当时，单调递减，A错误；
对于B，因为，所以数列为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有，所以数列为有界正数列，C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
所以，即，
由，
所以，D错误.
故选：BC
（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．若数列为单调递增数列，则实数的取值范围为______．
【解答】数列单调递增，则当时， .
当时， ，而在上单调增加，
所以，即，由数学归纳法可得.
当时，因为，所以，即
又，所以，
所以，即
故当时，
此时，而在上单调减少，
所以，即，与题意矛盾.
综上， 的取值范围是
故答案为：
命题点2　数列的周期性
（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，所以
，故选：B
（2023·北京通州·统考三模）数列中，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【解答】因为，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，，所以数列的周期为，则.
故选：C
（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为________．
【解答】因为，，且，所以，
则，，，，，，
发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，
则，，
所以.
故答案为：.
若数列满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】因为，所以.又因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故.故选：B
（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（ ）
A． B．2 C．1011 D．2022
【解答】解：数列的前项和为，且，，，，，即，，
，
，
．
可得数列是周期为3的数列，且前三项为：2，，，
则，
故选：C．
（2023·山东潍坊·统考模拟预测）数列1，3，2，…中，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】因为，所以，
所以，所以数列的周期为6，
因为，，
所以，，
所以.
故选：C
（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2099年为己未年，那么3035年为________年.
【解答】解：将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以60年（10，12的最小公倍数）为周期循环。
不妨给十天干与十二地支依次标号：1，2……10；1，2……11，12，将甲子年记为（1，1），乙丑年（2，2）……，则2099年可记为（6，8）而3035-2099=36，
故36÷10=3……6，即6+6-10=2，对应天干第二号2，即乙；36÷12=3……0，即地支仍是8号，即未.故答案为：乙未
（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的前2023项的积为___________.
【解答】由已知可得：
；由上可得周期为4，，可得，
故的周期也为4，数列的前4项分别为，，，，故数列的前2023项的积为
命题点3　数列的最值
（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】数列中，，则，而，
于是当时，，即，当时，，即，
因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，
所以当且仅当时，最小.
故选：C
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
（2021·陕西渭南·统考三模）已知数列满足，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．7
【解答】解：已知，
令，解得，此时，即，
当时，，因此，即，
当时，，因此，即，
所以数列先增后减，当或6时取得最大值，
故选：C.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2018 上海）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：数列，，，是递增数列，但不是递增数列，即充分性不成立，
数列1，1，1，，满足是递增数列，但数列1，1，1，，不是递增数列，即必要性不成立，
则“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：．
2．（2023 密云区三模）设数列的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
【解答】解：数列中，对任意，，则，；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，；
即，所以，
如数列，2，2，2，；不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．
故选：．
3．（2022 西城区校级三模）记为数列的前项和．若，2，，则　　
A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项
【解答】解：根据题意，数列，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，
对于，时，最大；
且当时，，当时，，当时，，
故当或8时，最大，
故有最大项，有最大项；
故选：．
4．（2023 涪城区校级模拟）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设这个等比数列为，设其公比为，
又由，，则，
插入的第四个数应，
故选：．
5．（多选）（2022 漳州模拟）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是　　
A．是递增数列 B．是递减数列
C． D．数列的最大项为和
【解答】解：根据题意，数列的前项和为，
当时，，
当时，，
故，
则是首项为10，公差为的等差数列，
由此依次分析选项：
对于，是递减数列，错误；
对于，是递减数列，正确；
对于，，正确；
对于，是递减数列，由，可得，即该等差数列第6项为0，第一项到第五项为正数，从第7项开始为负，所以最大，即数列的最大项为和，正确；
故选：．
6．（2022 武昌区模拟）若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为　　．
【解答】解：，
当时，有最小值，
即最小值为，
故答案为：
7．（2021 汉中模拟）设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是 　　．
【解答】解：因为是递增数列，所以，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
8．（2020 烟台模拟）已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为　　．
【解答】解：由，可得：时，，
时，．
则数列的通项公式为．
故答案为：．
9．（2019 如东县校级模拟）已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为　　．
【解答】解：依题意，，所以，
所以，即，
所以，
当取得最小值时，，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
1．（2023 密云区三模）设数列的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
【解答】解：数列中，对任意，，则，；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，；
即，所以，
如数列，2，2，2，；不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．
故选：．
2．（2020 海淀区校级模拟）数列的通项，则数列中的最大值是　　
A． B．19 C． D．
【解答】解：，
在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，（9），当时，，
即（9）为最小值，
此时取得最大值为，
故选：．
3．（2020 青浦区二模）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则　　．
【解答】解：由题意得：当，时，，所以所在的区间为，，区间长度为，
取到的整数为，，，，共个，
所以，当，时，有1个；当，时，有2个；当，时，有3个；，当，时，有个．
所以，时，共有个数．
故．
故答案为：．
4．（2022 4月份模拟）已知是公差不为零的等差数列，而是等比数列，其中，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式．
【解答】解：（1）设，
由题意知，
即，
求解得到或0，又是公差不为零的等差数列，
所以，
因此通项公式为；
（2）由数列的通项公式可知，，，
因此，即，
因此通项公式为．
5．（2022 东湖区校级三模）已知等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】（1）解：因为为等比数列，且，，设公比为，
所以，所以，，
所以；
（2）解：因为，
所以．
6．已知递增的等差数列的首项是1，是其前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）设等差数列有公差为，；
则，
整理可得，，
解得，或（舍去），
故数列的通项公式；
（2），
故，
，
作差可得：
，
，
故．
7．已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且．
（1）求，；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）设数列的公差为，则，，
，，成等比数列，且．
，
解得．
于是，．
（2）．
．
8．数列的前项和为，数列是等比数列，公比，且满足，，，成等差数列；
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
【解答】解：（1），
当时，，．
当时，．
显然当时，上式仍成立．
．
数列是等比数列，公比为，．
，．又，，，成等差数列，
．解得或（舍．
．
（2）．
设的前项和为，
则
．
1．已知，都是定义在上的函数，，，且，且，，若数列的前项和大于62，则的最小值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：，
，
，
从而可得单调递增，从而可得，
，
．
故
．
，即，，．
．
故选：．
2．（2022秋 甘泉县期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：根据题意，；
要使是递增数列，必有；
解可得，；
故选：．

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