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人教版九年级上册数学第一次月考试题
一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝2x2－1的顶点坐标是( )
A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，0)
2．如果是方程的解，那么常数k的值为　　
A．2 B．1 C． D．
3．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( )
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1
4．小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（ ）
A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线经过A( 1,)和B(3,)两点,那么下列关系式一定正确的是
A．0<< B．<<0 C．<<0 D．<0<
7．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
9．若直线与抛物线有交点，则m的取值范围是　　
A． B． C． D．
10．下表中x，y的对应值是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上点的坐标，下列说法中正确的是
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y＝ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是x＝0.5；④在对称轴左侧，y随x的增大而增大．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题。（每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点A（0,1）关于原点对称的点的坐标是_______.
12．方程x2＋x＝0的根为__________．
13．二次函数(a≠0)中的部分对应值如表格所示，则当x= 2时，y的值为___.
-1 0 1 2
6 3 2 3
14．当x=m和x=n（m≠n）时，二次函数y=x2﹣2x+3的函数值相等，当x=m+n时，函数y=x2﹣2x+3的值为_____．
15．如图,某小区规划在一个长40m、宽30m的长方形草坪ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草。要使每一块花草地的面积都为168m2，那么通道的宽应设计成多少m 设通道的宽为xm，由题意列得方程_________.
16．如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x2（x＞0）上，则点A的坐标是_____．
三、解答题
17．（10分）解方程：
（1） （2）
18．（7分）已知点（5,0）在抛物线上，求出抛物线的对称轴。
19．（10分）如图,抛物线与x轴交于A(3,0)、B( 1,0)，与y轴交于点C(0,3)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D(0,1)，点P是抛物线上的动点，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标。
20．（10分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
21．（13分）已知□ABCD的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程方程的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB﹦2，求BC的长．
22．（8分）如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．
23．（10分）已知二次函数的图象与轴有公共点．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求此时二次函数与轴的交点坐标．
24．（12分）某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件） … 30 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 500 400 300 200 …
（1）认真分析上表中的数据，用你所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x的函数关系，并求出函数关系式．
（2）设该厂试销该公益品每天获得的利润为w元，当销售单价x定为多少时，w有最大值？最大利润是多少？
（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4）．设日销售利润为m元，公司通过销售记录发现，m始终随销售单价x的增大而增大，求a的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0,1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线，过点B作X轴的垂线，记，的交点为P。
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上。
①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线。
②设点P到x轴，y轴的距离分别为，，求+的范围。当+=8时，求点P的坐标。
③将曲线在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围。
参考答案
1．A
【分析】
根据的图象与性质解答即可.
【详解】
抛物线y＝2x2－1的顶点坐标为（0，-1）.
故选A.
【点睛】
本题考查了的图象与性质，熟知的图象与性质是解决问题的关键.
2．D
【解析】
【详解】
解：把代入方程得
解得:
故选D．
3．B
【分析】
根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可.
【详解】
将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是y＝(x－2)2＋1．
故选B.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律，熟记抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”是解决问题的关键.
4．B
【分析】
根据配方法解方程的步骤即可得.
【详解】
先把常数项移到等号的右边，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边即可变成完全平方，右边是常数项，再开方，这种解方程的方法称为配方法.
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键.
5．A
【分析】
根据应用题的题目条件建立方程即可.
【详解】
解：由题可得：
即：
故答案是：A.
【点睛】
本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.
6．C
【分析】
求出、的值即可判断.
【详解】
当x=-1时，=-2-1=-3，
当x=3时，=-2×9+3=-15，
∴<<0，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征.
7．C
【分析】
根据△=只要说明这个式子的值的符号问题即可求解，根据三角形的三边关系即可判断.
【详解】
∵△=
∵a，b，c分别是三角形的三边
∴a+b＞c
∴c+a+b＞0，c-a-b＜0
∴△＜0，则方程没有实数根
故选C.
【点睛】
本题综合考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式.
8．D
【分析】
根据二次函数的图象可知，，再根据对称轴的位置即可判断a和b的大小，从而得出答案．
【详解】
解：由函数图象已知，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．
9．A
【分析】
根据题意令x+m=x2+3x，然后化为一元二次方程的一般形式，再令△≥0即可求得m的取值范围，本题得以解决．
【详解】
令x+m=x2+3x，
则x2+2x-m=0，
令△=22-4×1×（-m）≥0，
解得，m≥-1，
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．
10．B
【分析】
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确.
【详解】
由表格内数据可得：
抛物线与x轴的一个交点为( 2,0)，对称轴为直线，故③正确，
则抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，故①正确，
函数y＝ax2+bx+c的最大值在x=时取得，此时y>6，故②错误，
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的对称轴是解题的关键，也是本题的突破口.
11．(0,-1)
【分析】
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可解得.
【详解】
∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
∴点A关于原点对称的点的坐标是(0,-1)
故填：(0,-1).
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.
12．x 1＝－1，x 2＝0
【解析】
试题解析：
故答案为
13．11
【分析】
将x=0、x=1、x=-1的值分别代入函数解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，求的解析式后将x=-2代入解析式即可求得相应的y值.
【详解】
将x=0、x=1、x=-1的值分别代入函数解析式(a≠0)，
得方程组： 解得
∴解析式为
把x= 2代入解析式得：
故填：11.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象．解题时，利用了待定系数法求二次函数的解析式.
14．3
【分析】
先找出二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的对称轴为x=1，从而求得x=m+n=2，再把x=2代入解析式进行求值即可．
【详解】
∵当x=m和x=n（m≠n）时，二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的函数值相等，
∴以m、n为横坐标的点关于直线x=1对称，则=1，
∴m+n=2，
∵x=m+n，
当x=2时， y=4﹣4+3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出m+n=2是解题的关键．
15．（40-2x）(30-x)=168×6
【分析】
设通道的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40﹣2x）m，宽为（30﹣x）m，根据长方形面积公式即可列方程.
【详解】
∵将6块草地平移为一个长方形，长为（40﹣2x）m，宽为（30﹣x）m
∴根据长方形面积公式得：（40-2x）(30-x)=168×6
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程.
16．（3，）
【解析】
【分析】
设AE＝t，利用含30度的直角三角形三边的关系别说出OE得到A（t，t），再利用旋转的性质得到B（﹣t， t），接着利用关于y轴对称点的坐标特征得到D（t， t），然后把D（t， t）代入y＝x2得t2＝t，最后解方程求出t即可得到点A的坐标．
【详解】
设AE＝t，
在Rt△AOE中，∵∠AOE＝30°，
∴OE＝AE＝t，
∴A（t，t），
∵△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，
∴BC＝AE＝t，OC＝OE＝t，
∴B（﹣t， t），
∵△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合
∴D（t， t），
把D（t， t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴点A的坐标为（3，）．
故答案是：（3，）．
【点睛】
考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了旋转的性质和对称的性质．
17．（1） （2）
【分析】
（1）先移项，再开方求解；（2）利用公式法求解.
【详解】
（1）∵
∴
则
（2）∵由题知a=3、b=-5、c=1
∴△=
∴
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可.
18．
【分析】
先将点（5,0）代入解析式求得k的值，再根据对称轴公式 求解即可.
【详解】
将点（5,0）代入抛物线
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为:.
∴抛物线的对称轴为
【点睛】
本题主要考查了二次函数的对称轴公式的运用.
19．（1） （2）
【分析】
(1)根据题意可设抛物线的解析式为，代入点C的坐标就能求解；
(2) △PCD是以CD为底的等腰三角形得出点P是直线y=2与抛物线的交点，把y=2代入解析式求解即可.
【详解】
解：(1)根据题意可设抛物线的解析式为，
将点C（0,3）代入得，解得
∴
∴整理可得抛物线的解析式为:
(2)∵△PCD是以CD为底的等腰三角形
∴CD的垂直平分线为y=2
∴点P为直线y=2与抛物线y=-x2+2x+3的交点，
当y=2时，，解得，
∴P点坐标为
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，得出点P是直线y=2与抛物线的交点是解题的关键.
20．解：（1）当x=0时，y=1．
所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；
（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
【详解】
略
21．（1）证明见解析；（2）m﹦1，边长为；（3）．
【分析】
（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案；
（3）将AB＝2代入方程解得m＝，进而得出x的值．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程，△＝m2 2m＋1＝（m 1）2，
∵无论m取何值（m 1）2≥0
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC即（m 1）2＝0，即m=1，
将m＝1代入方程得：
∴x1＝x2＝，
即菱形的边长为；
（3）将AB＝2代入方程
解得：m＝，
将m＝代入方程
解得：x1＝2，x2＝，
即BC＝.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键．
22．y=﹣x2．
【详解】
试题分析：由函数图象可设该抛物线的解析式是 再结合图象，只需把代入求出的值即可．
试题解析：设抛物线解析式为
把点代入解析式得：
解得：
∴抛物线的解析式为
23．（1）；（2）和
【分析】
（1）利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（2m-2）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据（1）中的m的取值范围，可以取m=1，然后由二次函数解析式得到x2-2x=0，由此求得该抛物线与x轴交点的横坐标．
【详解】
解：（1）二次函数与轴有公共点
（2）为正整数
令
二次函数与轴的交点坐标为和．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
24．（1）y=-10x+800 （2）50元/件；9000元 （3）
【分析】
（1）直接运用待定系数法根据统计表的数据就可以求出y与x之间的函数关系式；
（2）设工艺厂试销该公益用品每天获得的利润是W元，先表示出每件的利润为（x-20），再根据总利润=单价利润×销售总量建立等式即可得出结论；
（3）设总利润为m元，根据条件可以得出每件工艺用品的利润为（x-20+a）元，再根据总利润=销售总价-成本总价建立函数关系式即可.
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据统计表得，
解得：，故函数关系式是y=-10x+800；
（2）设工艺厂试销该公益用品每天获得的利润是W元，依题意得
W=（x-20）（-10x+800）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000
则当x=50时，W有最大值9000．
故当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该公益用品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
（3）设日销售利润为m元，则每件工艺用品的利润为（x-20+a）元，由题意，得
∵，
∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧m随x的增大而增大，
∴时，m有最大值，
∵日销售利润m随销售单价x的增大而增大，
∴，解得，
又∵a＞4
∴．
【点睛】
本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，不等式的解法和运用，解答时建立二次函数的解析式，根据二次函数的解析式求解是关键.
25．（1）答案见解析 （2）①，抛物线 ②（3，5）或（-3，5） ③－＜k＜
【分析】
（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线，过点B作出x轴的垂线即可；
（2）①分x>0或x<0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题；
②由题意得，列出方程即可解决问题．
③求出直线y=2与抛物线 y=的两个交点为（-，2）和（，2），利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题.
【详解】
（1）
（2）①当x＞0时，如图，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E，
∵l1垂直平分AB
∴PA=PB=y.在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1，
由勾股定理得：，整理得：；
当x≤0时，点P（x，y）同样满足，
∴曲线L就是二次函数的图像.即曲线L是一条抛物线.
②由题意可知， ，d2=｜x｜
∴
当x=0时，d1+d2有最小值，
∴d1+d2的范围是d1+d2≥.
当d1+d2=8时，则
（Ⅰ）当x≥0时，原方程化为. 解得 x1=3，x2= -5（舍去）.
（Ⅱ）当x＜0时，原方程化为. 解得 x1=-3，x2= 5（舍去）.
将x=±3代入，得y=5，
∴点P的坐标为（3，5）或（-3，5）；
③k的取值范围是：－＜k＜.
解答过程如下（过程不需写）：把y=2代入，得x1=－，x2=.
∴直线y=2与抛物线两个交点的坐标为（－，2）和（，2）.
当直线y=kx+3过点（－，2）时，可求得 k=；
当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得 k=－.
故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－＜k＜.
【点睛】
本题综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图像是解题的关键、找准切入点、添辅助线构造定理所需的图形或基本图形是解题的关键.
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