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2023年广东省惠州市惠阳区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 太阳是太阳系的中心天体，离地球最近的恒星太阳从中心向外可分为核反应区、辐射区、对流层和大气层，太阳的年龄约亿年现正处于“中年阶段”半径为千米，是地球半径的倍，千米用科学记数法表示为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 下列图形中，既中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算中，结果与相等的是( )
A. B. C. D.
5. 如图是某品牌运动服的号，号，号，号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为( )
A. 号
B. 号
C. 号
D. 号
6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为( )
A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线
8. 已知有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
9. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形的边长为，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若，则的值为______ ．
12. 如图，电路图上有、、个开关和个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的个开关，小灯泡发亮的概率是_______．
13. 如图，，于，，则的度数为______ ．
14. 在平面直角坐标系中，若在第二象限，则的取值范围是______ ．
15. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，若的面积为，则的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
小丽和小明同时解一道关于、的方程组，其中、为常数在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得；小明看错常数“”，解得．
求、的值；
求出原方程组正确的解．
18. 本小题分
如图，在中，，，．
作的高，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，求的长．
19. 本小题分
为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知只型节能灯比只型节能灯贵元，用元买型节能灯和用元买型节能灯的数量相同．
求只型节能灯和只型节能灯的售价各是多少元？
学校准备购买这两种型号的节能灯共只，要求型节能灯的数量不超过型节能灯的数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20. 本小题分
如图是城市广场地下停车场的人口，图是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱与地面垂直，即，且，点、、在同一条水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆于点，该支架的边与的夹角，又测得请你求出该支架的边及顶端到地面的距离的长度．
21. 本小题分
如图，点、、都在上，过点作交延长线于点，连接，且，，．
求证：是的切线；
求由弦、与弧所围成的阴影部分的面积结果保留
22. 本小题分
如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，交于点，过点作交于点，交于点，连接．
试判断四边形的形状，并加以证明；
连接交于点，求证：；
在的条件下，若，，求的值．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点的坐标是，连接、．
求过、、三点的抛物线的解析式；
求证：≌；
动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为秒，当为何值时，？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：千米米，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3.【答案】
【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：，
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】
【解析】解：，
厂家应生产最多的型号为号．
故选：．
利用四个型号的数量所占百分比解答即可
本题考查了扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
6.【答案】
【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线经过点和点，
抛物线对称轴为直线，
故选：．
根据、两点的纵坐标相同可知、两点关于对称轴对称，据此即可求出答案．
本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，故A错误
与原点距离小于与原点距离，
，故C错误，
，
，
故选：．
由数轴可得：；根据绝对值的几何意义可得：；因为，，所以；根据数轴和相反数的概念得知：，即可得出答案．
本题以数轴为背景，考查了绝对值的几何意义从而比较出大小，难度较小，解决问题的关键是求出，，，的大小．
9.【答案】
【解析】解：关于的方程的一个根为，
所以
解得．
故选：．
根据方程根的定义，将代入方程，解出的值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
10.【答案】
【解析】解：通过已知条件可知，当点与点重合时，的面积为；
当点在上运动时，的高不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而增大；
当时有最大面积为，
当在边上运动时，的底边不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而增大，
当时，有最大面积为；
当点在边上运动时，的底边不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而减小，当时最小面积为；
因此只有选项的图象符合题意．
故选：．
根据题意，分类讨论：当点在上运动时、当在边上运动时、当点在边上运动时，分别判断出与的关系是一次函数，并确定的取值范围和的最值，然后作出判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质，正方形的性质，三角形面积，难度不大．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，
任意闭合其中一个开关共有种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这种结果，
小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
根据两直线平行，同位角相等得，由得，在中，利用三角形内角和定理即可求解．
本题主要考查平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
由在第二象限得到，解不等式组即可得到答案．
此题考查了各象限点的符号特征和一元一次不等式组的解法，根据题意列出不等式组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连结，如图，
轴，
，
，
而，
，
，
．
故答案为：．
连结，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
16.【答案】解：原式
．
【解析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
17.【答案】解：在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，
解得，
，解得；
在解方程组的过程中，小明看错常数“”，
解得，
，解得；
；；
由知，
由得，解得，
将代入得，
原方程组的解为．
【解析】根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“”，解得，即是正确的，解得；小明看错常数“”，解得，即正确，解得；
由知关于、的方程组可化为，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问题的关键．
18.【答案】解：以为圆心适当的长为半径画弧交于、，分别以、为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于，线段即为所求；
在中，，
，
．
【解析】以为圆心适当的长为半径画弧交于、，分别以、为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于，线段即为所求；
本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的作法是解答此题的关键．
19.【答案】解：设只型节能灯的售价是元，则只型节能灯的售价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是该方程的解，
则，
答：只型节能灯的售价是元，只型节能灯的售价是元；
设购买型号的节能灯只，则购买型号的节能灯只，费用为元，
型节能灯的数量不超过型节能灯的数量的倍，
，
，
，
，
随的增大而减少，
当时，取得最小值，此时，
，
答：当购买型号节能灯只，型号节能灯只时最省钱．
【解析】设只型节能灯的售价是元，则只型节能灯的售价是元，然后根据用元买型节能灯和用元买型节能灯的数量相同列出方程求解即可；
设购买型号的节能灯只，则购买型号的节能灯只，费用为元，先求出的取值范围，再根据费用单价数量列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．
20.【答案】解：过作于点，
四边形为矩形，，，
在中，
，，
，
，
，
在中，
，
，
，
又，
，
，
．
答：该支架的边为，顶端到地面的距离的长度为．
【解析】过作于点，在中，根据，，可求得的长度，又，可求得的长度，在中解直角三角形求得的长度，然后根据，求得，继而可求得的长度，易得的值．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
21.【答案】证明：连接、、，交于，如图，
，
，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
解：，，
，
，
，
，，
，
和互相垂直平分，
四边形为菱形，
，
由弦、与弧所围成的阴影部分的面积
【解析】连接、、，交于，如图，根据圆周角定理得，再根据平行线的性质，由得，则，于是根据切线的判定定理即可得到为的切线；
根据平行线的性质，由，得，再利用垂径定理得，则利用，可计算出，，接着判断四边形为菱形，得到，所以由弦、与弧所围成的阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式求解．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
22.【答案】解：四边形是菱形，证明如下：
由折叠可知，．
，
，
，
，
，且
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是菱形；
证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，
又．
∽．
，
，
解：四边形是菱形，
，，，
设，
则，，
由得；，
，
，
解得，不合题意，舍去，
．
【解析】根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
由四边形是菱形，得，因为四边形是矩形，则，又因为得出∽，则，则可得结论，
由四边形是菱形，得出，，，设，则，，由结论，得出，解得，不合题意，舍去，求解结果即可．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
23.【答案】解：设过、、三点的抛物线解析式为．
直线与轴，轴相交于、两点，
点和点．
又点坐标为，
将、、三点代入抛物线解析式为得，
解得，
所求抛物线解析式为
证明：由、两点的坐标得，，
由勾股定理得，
．
过点作轴于，作轴于，
点坐标为，
，，，．
由勾股定理得．
．
，
，
由勾股定理得．
是直角三角形；
，
，，
≌；
解：由题意得动点运动秒后，，，．
由勾股定理得，．
，
．
．
解得，舍去．
动点运动秒时，．
【解析】利用坐标轴上点的特点确定出点，坐标，进而用待定系数法即可得出结论；
求出，，进而利用勾股定理逆定理即可得出结论；
先根据勾股定理得出，进而建立方程求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理和逆定理，方程的思想，解的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，解的关键是求出，，，解关键是表示出，．
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