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2023-2024学年人教版数学九年级上册第二十三章旋转学案
知识点：
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
三、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
练习题
一、选择题：
1．下面的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）
4．如图，小明正在玩俄罗斯方块，他想将正在下降的“L”型插入图中①的位置，他需要怎样操作？（　　）
A．先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移3个单位，向下平移6个单位
B．先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移3个单位，向下平移6个单位
C．先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移4个单位，向下平移5个单位
D．先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移4个单位，向下平移5个单位
5．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B=65°，则∠ADE=（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
7．如图，P为正方形ABCD内的一点，△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBE，则△BPE是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°).若∠1＝112°，则∠α的大小是（　　）
A．68° B．20° C．28° D．22°
9．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，当、、在同一直线上时，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：
10．在等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有　 　个．
11．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则　 　．（用含的式子表示）
12．已知点A的坐标为，O为坐标原点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为　 　.
13．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、点B（0，3），点E在OB上，将△ABE绕点E顺时针旋转90°得到△A'B'E，则A'B'的值为　 　．
15．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第　 　秒时，边与边平行．
三、解答题：
16．在直角坐标平面内，点与点关于x轴对称，将点B绕着原点逆时针旋转得点C，求：的面积．
17．图1、图2、图3均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、
(1)在图1中，画出将绕点D顺时针旋转90°得到的
(2)在图2中，画出使与关于点D成中心对称；
(3)在图3中，以AB为一边画出一个、使的面积是的面积的4倍．
18．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转60°得到，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC的中点，连接DF．
求证：．
19．△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，它们交于D点，
①求证：BE=CF．
②当α=120°，求∠FCB的度数．
③当四边形ACDE是菱形时，求BD的长．
20．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值．
参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．D
10．2
11．
12．(-3，2)
13．
14．
15．或
16．解：∵点与点关于x轴对称，
∴，
整理得：，解得：，
∴，
如图，过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
17．解：⑴如图1，为所作；
⑵如图2，为所作；
⑶如图3，为所作．
18．证明：∵点F是AC的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转60°得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
19．证明：①∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，
∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；
②解：∵α=120°，
∴∠FAC=120°，
而AF=AC，
∴∠ACF=30°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠BCF=67.5°﹣30°=37.5°；
③解：∵四边形ACDE是菱形，
∴AC∥DE，DE=AE=AC=1，
∴∠ABE=∠BAC=45°，
而AE=AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE= AB= ，
∴BD=BE﹣DE= ﹣1．
20．（1）解：∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-α；
（2）解：△ABE为等边三角形．
证明：如图，连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠DBC=60°．
又∵∠ABE=60°，
∴且△BCD为等边三角形．
在△ABD与△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴．
∵∠BCE=150°，
∴．
∴．
在△ABD和△EBC中，
∵，，BC=BD，
∴△ABD≌△EBC（AAS）．
∴AB=BE．
∴△ABE为等边三角形．
（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴．
又∵∠DEC=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形．
∴DC=CE=BC．
∵∠BCE=150°，
∴．
而．
∴

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