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2023-2024学年人教版数学九年级上册
第二十一章一元二次方程学案
知识点：
一、一元二次方程
1、定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2、一元二次方程的解法
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
练习题
一、选择题：
1．方程x2﹣3x＝0的根为（　　）
A．0 B．3 C．0或3 D．0或
2．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（　　）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
5．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
6．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．等腰三角形的底和腰是方程 的两根，则这个三角形的周长为（　　）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
8．若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A．m二、填空题：
9．若是一元二次方程，则a＝　 　.
10．有x支球队参加篮球比赛，共比赛21场，每两个队之间只比赛一场，则关于x的方程是　 　．
11．已知关于 的一元二次方程 有两个不相同的实数根，则 的取值范围是　 　.
12．已知实数x、y满足 ，则﹣xy的平方根等于　 　 ．
13．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2－8cx－9d＝0的解，c、d是方程x2－8ax－9b＝0的解，则a＋b＋c＋d的值为　 　．
14．下列给出的四个命题：
①若方程两根为－1和2，则；
②若，则；
③；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为，那么，．
其中是真命题的是　 　．
三、解答题：
15．用适当的方法解下列一元二次方程．
（1） ；
（2） ．
16．关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
17．等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．
18．关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？
（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
19．某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？
20．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元.
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值.
参考答案：
1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．C 8．A
9．-2
10．x(x﹣1)＝21
11．k＞-2且k≠-1
12．±2
13．648
14．①②④
15．（1）解：
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：
移项为： ，
，
，
即 ，
∴ 或 ，
∴ ．
16．解：由题意，得
m2+3m+2=0，且m+1≠0，
解得m=﹣2，
m的值是﹣2
17．解：①若是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得：，
解得或，
∴当时，
方程可化为，
解得，，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为：；
当时，
方程可化为，
解得，；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为：；
∴三角形的周长为16或22；
②若是三角形的底边，则b、c为腰，即，则方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴原方程可化为，
解得，
此时，，，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
18．解：（1）∵当△=[4（m﹣1）]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0时，方程有两个实数根，
即m≤，
∴当m≤时，方程有两个实数根；
（2）根据根与系数关系得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1 x2=，
∵x12+x22=17，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=17，
∴（1﹣m）2﹣=17＜
解得：m1=8，m2=﹣4，
∵当m≤时，方程有两个实数根，
∴m=﹣4；
（3）∵由（1）知当m≤时，方程有两个实数根，由（2）知，x1 x2=，
∴＞0，
∴当m≠0，且m≤时，x1和x2能同号，
即m的取值范围是：m≠0，且m≤．
19．解：设应将售价下调x元，由题意得
（36﹣20﹣x）（40+10x）=750，
解得：x1=1，x2=11，
当x=11时，36﹣11=25，不在28元～38元的范围内，不合题意，舍去，
答：应将每盒百合花在售价下调1元．
20．（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥ ×6x，
解得：x≤1000.
答：甲最多施工1000米.
（2）解：依题意，得：（6+m）（6+ m）+8（6- m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m1=m2=4.
答：m的值为4

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