资源简介

2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：圆（3）
一、选择题
1．（2023·杭州）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵∠ABC=19°，
∴∠AOC=2∠ABC=38°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=52°，
∴∠BAC=∠BOC=26°.
故答案为：D.
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠ABC=38°，由角的和差可得∠BOC=52°，进而再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BAC的度数.
2．（2023·大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角为90°，半径为3的扇形的弧长为=π.
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式l=进行计算即可.
3．（2023·兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据弧长的计算公式即可求解。
4．（2023·济宁）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据简单组合体的三视图即可得到该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，进而运用圆锥的侧面积计算公式和圆柱的侧面积计算公式即可求解。
5．（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：圆内接正十二边形可以看作12个全等三角形组成的，
三角形的顶角为π=π，
∵sinπ=，
∴S三角形=×sinπ×12=，
∴正十二边形的面积=12×=3.
故答案为：C.
【分析】圆内接正十二边形可以看作12个全等三角形组成的，先求出三角形的顶角为π，再求出sinπ的值，利用三角形的面积公式求出三角形的面积，进而不难求出正十二边形的面积.
6．（2023·自贡）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的认识；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°-41°=49°，
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理即可得到，再根据直径所对的角为直角即可求解。
7．（2023·舒城模拟）如图，正六边形内接于，点P在上，Q是的中点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF， Q是的中点，
∴∠COD=∠DOE=360°÷6=60°，
∠DOQ=∠EOQ=，
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，
∴∠CPQ=，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出正六边形的中心角，再根据圆周角定理计算求解即可。
二、填空题
8．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则　 　．
【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
9．（2023·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为　 　．
【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=，
解得r=2.
故答案为：2.
【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出r的值.
10．（2023·黑龙江）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是　 　．
【答案】12
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为rcm，由题意，
得，
解得r=5，
∴圆锥的高为：(cm).
故答案为：12.
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长及扇形面积公式(l代表底面圆的周长，R代表母线长)，列出方程，求解可得底面圆的半径，进而再根据底面圆的半径，圆锥的高及母线长围成一个直角三角形，由勾股定理计算可得答案.
11．（2023·连云）以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转　 　°.
【答案】60
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】∵正六边形的每一个外角=360°÷6=60°，
∴将正六边形ABCDEF以点C为旋转中心，按顺时针旋转60°，使得新正六边形的顶点第一次落在直线BC上.
故答案为：60
【分析】求出正六边形的外角度数即可.
12．（2023·自贡）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是　 　．
【答案】/
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得扇形的弧长为cm，底面圆的周长为4πcm，
∴，
∴圆锥上粘贴部分的面积是，
故答案为：/
【分析】先扇形弧长的计算公式结合圆的周长即可求出圆锥底面多余的弧长l，再根据扇形面积的计算公式即可求解。
13．（2023·宁波）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为　 　．
【答案】或
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OD，DE，
∵半圆O与BC相切，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
设半圆O的半径为r，OB=r+3，
∵OD2+BD2=OB2，
∴，
解之：r=6，
△ADP是等腰三角形，
当AP=PD时，即点P和点O重合时，
AP=PG=OF=6；
当AD=AP1时，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴即
解之：AC=10，，
在Rt△ACD中
；
当AD=DP2时，
∴；
∵OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠B AC，
过点D作DH⊥AE于点H，
∴AH=P2H，，
∵AD=AD，
∴△ADH≌△ADC（HL）
∴AH=AC=P2H=10，
∴AP2=2AH=20，
∵点E为AB边上的一点，不符合题意，舍去；
∴符合题意的AP的长为或.
故答案为：或
【分析】连接OD，DE，利用切线的性质可知∠ODB=90°，设半圆O的半径为r，可表示出OB的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值；再利用等腰三角形的定义分情况讨论：当AP=PD时，即点P和点O重合时，可得到PA的长；当AD=AP1时，利用OD∥AC，可证得△BOD∽△BAC，利用相似三角形的性质可求出AC，CD的长，利用勾股定理求出AP1的长；当AD=DP2时，可得到DP2的长，再证明AD平分∠B AC，过点D作DH⊥AE于点H，利用角平分线的性质可证得AH=P2H，同时可得到DC，DH的长，利用HL证明△ADH≌△ADC，利用全等三角形的性质可知AH=AC=P2H=10，可得到AP2的长，综上所述可得到符合题意的AP的长.
三、综合题
14．（2023·鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE=1，DC=2，求⊙的半径长．
【答案】（1）证明：连接OC.
∵点C为的中点
∴∠DAC=∠CAB
又∵OA=OC
∴∠CAB=∠OCA
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AE
又∵AE⊥CD
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：连接CE、CB.
∵CD⊥AE
∴∠D=90°
在Rt△DCE中，EC=
∵点C为的中点
∴CB=CE=
∵∠AEC+∠ABC=180°，∠AEC+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠ABC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠D
∴△EDC∽△BCA
∴
即
解得AB=5
∴⊙O的半径长是.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由中点以及圆周角定理可得∠DAC=∠CAB，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，推出OC∥AE，结合AE⊥CD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）连接CE、CB，由勾股定理可得EC，根据弧、弦的关系可得CB=CE=，根据圆内接四边形的性质可得∠AEC+∠ABC=180°，结合邻补角的性质可得∠DEC=∠ABC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△EDC∽△BCA，然后由相似三角形的性质计算即可.
15．（2023·赤峰）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，如图所示，
，为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切线．
（2）解：连接，如图所示，
由（1）得，，
，
，
．
，
．
设则，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)本题考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定，利用定理转换角之间的数量关系，得到判定切线的条件.
(2)本题考查了解直角三角形的应用，利用三角函数表示出直角三角形的边长，再通过方程解出结果即可.
16．（2023·西安模拟）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若直径，求的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACD=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADC=∠OCD，由已知条件可得∠DCF=∠CAD，结合∠ADC+∠CAD=90°可得∠DCF+∠OCD=90°，推出OC⊥FC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠B=∠ADC，则cosB=cos∠ADC，根据三角函数的概念可得AC的值，证明△FCD∽△FAC，设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，然后根据相似三角形的性质求解即可.
17．（2023·日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明：证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（3） 解：如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴点P一定在 的垂直平分线上，
∴点P在直线 上，
∴当 时， 有最小值，
∵ ，
∴在 中， ，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意得到，从而结合圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，进而根据圆周角定理得到，再结合题意证明，是的半径，运用切线的判定即可求解；
（3）作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，先根据等腰三角形的性质即可得到 ，进而根据题意得到 ， ，从而运用解直角三角形的知识即可得到 ， ， ， ，再根据题意即可得到当 时， 有最小值，进而运用即可求解。
18．（2023·宁波）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
（1）求的度数．
（2）①求证：．
②若，求的值，
（3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：∵为中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：设， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴（负根舍去）；
（3）解：如图，设的半径为，连接交于，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，（负根舍去），
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠GBC=∠EBC，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠EBC=∠EAC=∠GBC，再根据∠ACF=90°，可求出∠BGC的度数.
（2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DG=DB=DC，利用等腰三角形的性质可得到∠DGC=∠BCG，由此可证得∠AFG=∠DGC，利用等角对等边可得到CF=CG，即可证得△GBC≌△CAF，利用全等三角形的性质可证得结论；②设CG=CF=x，CD=BD=CD=a，再证明△GCD∽△GFC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于a，x的方程，解方程可得到CG2和BG2的值；然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠GBC的值.
（3）设圆O的半径为r，连接OC交AE于点N，过点O作PM⊥BE于点M，利用等边对等角可证得∠CBE=∠OBC=∠OCB，可得到OC∥BE，即可证得△EBD≌△NCD，利用全等三角形的性质可得到BE=CN，再证明∠GOC=∠OBM，可得到△COG≌△OBM，利用全等三角形的性质可求出BM的长；然后证明△GON∽△GBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可求出AC的长.
19．（2023·丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若=2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N．若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答。
①若OF=，求BC的长；
②若AH=，求△ANB的局长：
③若HF·AB=88．求△BHC的面积.
【答案】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线．
∴HC⊥CE．
∴AD∥HC．
（2）解：如图1．连结AO，
∵，
∴∠BAD=∠CAD．
由CE⊥AD易证△CAG≌△FAG．
∴CG=FG．
设CG=a，则FG=a，
∵=2，
∴OG=2a，AO=CO=3a．
在Rt△AOG中由勾股定理得AO2=AG2+OG2，
∴(3a)2=AG2+(2a)2，
∴AG=a，
∴tan∠FAG=
（3）解：①如图1，连结OA，
∵OF=，OC=OA=5．
∴CF=
∴CG=FG=
∴OG=，
∴AG=．
∵CE⊥AD．
∴AD=2AG=
∵．
∴．
∴BC=AD=
②如图2，连结CD，
∵AD∥HC，FG=GC．
∴AH=AF．
∵∠HCF=90．
∴AC=AH=AF=．
设CG=x，则FG=x，OG=5-x，
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2，
即25-(5-x)2=10-x2，解得x=1，
∴AG=3，AD=6．
∵，
∴∠DAC=∠BCD．
∵∠CDN=∠ADC，
∴△CND∽△ACD，
∴
∴ND=
∴AN=
∵∠BAD=∠DAC．∠ABN=∠ADC．
∴△ANB∽△ACD．
∴C△AND=C△ACD×=(6+2)×=
③如图3．
过点O作OM⊥AB于点M，则AM=MB=AB．
设CG=x．则FG=x，OG=5-x，OF=5-2x.
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2，
AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x，
∵AD∥HC，FG=GC．
∴AH=AF=HF，
∴AG=HC．
∴AF·AM=HF·AB=HF·AB=×88=22，
∵∠AGF=∠OMF=90°，∠AFG=∠OFM，
∴△AFG∽△OFM．
∴
∴AF·FM=OF·GF，
∴AF∴AM=AF
∴(AF+FM)=AF2+AF·FM=AF2+OF·GF=22，
可得方程10x+x(5-2x)=22．解得x1=2．x2=5.5(舍去)，
∴CG=FG=2．
∴OG=3．
∴AG=4．
∴HC=8．AH=AF=，
∴S△CMA=8，
∵AD∥HC．
∴∠CAD=∠ACH．
∴，
∴∠B=∠CAD，
∴∠B=∠ACH，
∵∠H=∠H．
∴△CHA∽△BHC∴S△BHC=8×()2=
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AO，利用等弧所对圆周角相等可证得BAD=∠CAD，同时可证得△CAG≌△FAG，利用全等三角形的性质可证得CG=FG；设CG=FG=a，利用已知可表示出OG，AO的长，利用勾股定理可得到方程，解方程求出AG的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FAG的值.
（2）①连接AO，可得到CF，FG，OG的长，利用勾股定理求出AG的长，利用垂径定理求出AD的长；再证明BC=AD，可得到BC的长；②连接CD，利用平行线等分线段，可知AH=AF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AC=AH=AF，设CG=x，可表示出FG，OG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AG，AD的长；再利用圆周角定理证明∠DAC=∠BCD，可推出△CND∽△ACD，利用全等三角形的性质可求出ND的长，即可得到AN的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ANB∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出△ANB的周长；③过点O作OM⊥AB于点M，设CG=x=FG，可表示出OG，OF的长，利用勾股定理可表示出AF2=AG2+FG2，再证明△AFG∽△OFM，利用相似三角形的性质可证得AF·FM=OF·GF=AF2+OF·GF=22，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG，FG，OGAG的长，即可求出AH的长；利用相似三角形的判定定理可证得△CHA∽△BHC，利用相似三角形的性质可求出△BHC的面积.
1 / 12023年中考数学真题分类汇编（全国版）：圆（3）
一、选择题
1．（2023·杭州）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·济宁）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
6．（2023·自贡）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·舒城模拟）如图，正六边形内接于，点P在上，Q是的中点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则　 　．
9．（2023·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为　 　．
10．（2023·黑龙江）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是　 　．
11．（2023·连云）以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转　 　°.
12．（2023·自贡）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是　 　．
13．（2023·宁波）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为　 　．
三、综合题
14．（2023·鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE=1，DC=2，求⊙的半径长．
15．（2023·赤峰）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
16．（2023·西安模拟）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若直径，求的长.
17．（2023·日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
18．（2023·宁波）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
（1）求的度数．
（2）①求证：．
②若，求的值，
（3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
19．（2023·丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若=2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N．若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答。
①若OF=，求BC的长；
②若AH=，求△ANB的局长：
③若HF·AB=88．求△BHC的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵∠ABC=19°，
∴∠AOC=2∠ABC=38°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=52°，
∴∠BAC=∠BOC=26°.
故答案为：D.
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠ABC=38°，由角的和差可得∠BOC=52°，进而再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BAC的度数.
2．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角为90°，半径为3的扇形的弧长为=π.
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式l=进行计算即可.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据弧长的计算公式即可求解。
4．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据简单组合体的三视图即可得到该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，进而运用圆锥的侧面积计算公式和圆柱的侧面积计算公式即可求解。
5．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：圆内接正十二边形可以看作12个全等三角形组成的，
三角形的顶角为π=π，
∵sinπ=，
∴S三角形=×sinπ×12=，
∴正十二边形的面积=12×=3.
故答案为：C.
【分析】圆内接正十二边形可以看作12个全等三角形组成的，先求出三角形的顶角为π，再求出sinπ的值，利用三角形的面积公式求出三角形的面积，进而不难求出正十二边形的面积.
6．【答案】C
【知识点】圆的认识；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°-41°=49°，
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理即可得到，再根据直径所对的角为直角即可求解。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF， Q是的中点，
∴∠COD=∠DOE=360°÷6=60°，
∠DOQ=∠EOQ=，
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，
∴∠CPQ=，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出正六边形的中心角，再根据圆周角定理计算求解即可。
8．【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
9．【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=，
解得r=2.
故答案为：2.
【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出r的值.
10．【答案】12
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为rcm，由题意，
得，
解得r=5，
∴圆锥的高为：(cm).
故答案为：12.
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长及扇形面积公式(l代表底面圆的周长，R代表母线长)，列出方程，求解可得底面圆的半径，进而再根据底面圆的半径，圆锥的高及母线长围成一个直角三角形，由勾股定理计算可得答案.
11．【答案】60
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】∵正六边形的每一个外角=360°÷6=60°，
∴将正六边形ABCDEF以点C为旋转中心，按顺时针旋转60°，使得新正六边形的顶点第一次落在直线BC上.
故答案为：60
【分析】求出正六边形的外角度数即可.
12．【答案】/
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得扇形的弧长为cm，底面圆的周长为4πcm，
∴，
∴圆锥上粘贴部分的面积是，
故答案为：/
【分析】先扇形弧长的计算公式结合圆的周长即可求出圆锥底面多余的弧长l，再根据扇形面积的计算公式即可求解。
13．【答案】或
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OD，DE，
∵半圆O与BC相切，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
设半圆O的半径为r，OB=r+3，
∵OD2+BD2=OB2，
∴，
解之：r=6，
△ADP是等腰三角形，
当AP=PD时，即点P和点O重合时，
AP=PG=OF=6；
当AD=AP1时，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴即
解之：AC=10，，
在Rt△ACD中
；
当AD=DP2时，
∴；
∵OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠B AC，
过点D作DH⊥AE于点H，
∴AH=P2H，，
∵AD=AD，
∴△ADH≌△ADC（HL）
∴AH=AC=P2H=10，
∴AP2=2AH=20，
∵点E为AB边上的一点，不符合题意，舍去；
∴符合题意的AP的长为或.
故答案为：或
【分析】连接OD，DE，利用切线的性质可知∠ODB=90°，设半圆O的半径为r，可表示出OB的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值；再利用等腰三角形的定义分情况讨论：当AP=PD时，即点P和点O重合时，可得到PA的长；当AD=AP1时，利用OD∥AC，可证得△BOD∽△BAC，利用相似三角形的性质可求出AC，CD的长，利用勾股定理求出AP1的长；当AD=DP2时，可得到DP2的长，再证明AD平分∠B AC，过点D作DH⊥AE于点H，利用角平分线的性质可证得AH=P2H，同时可得到DC，DH的长，利用HL证明△ADH≌△ADC，利用全等三角形的性质可知AH=AC=P2H=10，可得到AP2的长，综上所述可得到符合题意的AP的长.
14．【答案】（1）证明：连接OC.
∵点C为的中点
∴∠DAC=∠CAB
又∵OA=OC
∴∠CAB=∠OCA
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AE
又∵AE⊥CD
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：连接CE、CB.
∵CD⊥AE
∴∠D=90°
在Rt△DCE中，EC=
∵点C为的中点
∴CB=CE=
∵∠AEC+∠ABC=180°，∠AEC+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠ABC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠D
∴△EDC∽△BCA
∴
即
解得AB=5
∴⊙O的半径长是.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由中点以及圆周角定理可得∠DAC=∠CAB，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，推出OC∥AE，结合AE⊥CD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）连接CE、CB，由勾股定理可得EC，根据弧、弦的关系可得CB=CE=，根据圆内接四边形的性质可得∠AEC+∠ABC=180°，结合邻补角的性质可得∠DEC=∠ABC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△EDC∽△BCA，然后由相似三角形的性质计算即可.
15．【答案】（1）证明：连接，，如图所示，
，为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切线．
（2）解：连接，如图所示，
由（1）得，，
，
，
．
，
．
设则，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)本题考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定，利用定理转换角之间的数量关系，得到判定切线的条件.
(2)本题考查了解直角三角形的应用，利用三角函数表示出直角三角形的边长，再通过方程解出结果即可.
16．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACD=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADC=∠OCD，由已知条件可得∠DCF=∠CAD，结合∠ADC+∠CAD=90°可得∠DCF+∠OCD=90°，推出OC⊥FC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠B=∠ADC，则cosB=cos∠ADC，根据三角函数的概念可得AC的值，证明△FCD∽△FAC，设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，然后根据相似三角形的性质求解即可.
17．【答案】（1）证明：证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（3） 解：如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴点P一定在 的垂直平分线上，
∴点P在直线 上，
∴当 时， 有最小值，
∵ ，
∴在 中， ，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意得到，从而结合圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，进而根据圆周角定理得到，再结合题意证明，是的半径，运用切线的判定即可求解；
（3）作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，先根据等腰三角形的性质即可得到 ，进而根据题意得到 ， ，从而运用解直角三角形的知识即可得到 ， ， ， ，再根据题意即可得到当 时， 有最小值，进而运用即可求解。
18．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：∵为中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：设， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴（负根舍去）；
（3）解：如图，设的半径为，连接交于，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，（负根舍去），
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠GBC=∠EBC，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠EBC=∠EAC=∠GBC，再根据∠ACF=90°，可求出∠BGC的度数.
（2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DG=DB=DC，利用等腰三角形的性质可得到∠DGC=∠BCG，由此可证得∠AFG=∠DGC，利用等角对等边可得到CF=CG，即可证得△GBC≌△CAF，利用全等三角形的性质可证得结论；②设CG=CF=x，CD=BD=CD=a，再证明△GCD∽△GFC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于a，x的方程，解方程可得到CG2和BG2的值；然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠GBC的值.
（3）设圆O的半径为r，连接OC交AE于点N，过点O作PM⊥BE于点M，利用等边对等角可证得∠CBE=∠OBC=∠OCB，可得到OC∥BE，即可证得△EBD≌△NCD，利用全等三角形的性质可得到BE=CN，再证明∠GOC=∠OBM，可得到△COG≌△OBM，利用全等三角形的性质可求出BM的长；然后证明△GON∽△GBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可求出AC的长.
19．【答案】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线．
∴HC⊥CE．
∴AD∥HC．
（2）解：如图1．连结AO，
∵，
∴∠BAD=∠CAD．
由CE⊥AD易证△CAG≌△FAG．
∴CG=FG．
设CG=a，则FG=a，
∵=2，
∴OG=2a，AO=CO=3a．
在Rt△AOG中由勾股定理得AO2=AG2+OG2，
∴(3a)2=AG2+(2a)2，
∴AG=a，
∴tan∠FAG=
（3）解：①如图1，连结OA，
∵OF=，OC=OA=5．
∴CF=
∴CG=FG=
∴OG=，
∴AG=．
∵CE⊥AD．
∴AD=2AG=
∵．
∴．
∴BC=AD=
②如图2，连结CD，
∵AD∥HC，FG=GC．
∴AH=AF．
∵∠HCF=90．
∴AC=AH=AF=．
设CG=x，则FG=x，OG=5-x，
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2，
即25-(5-x)2=10-x2，解得x=1，
∴AG=3，AD=6．
∵，
∴∠DAC=∠BCD．
∵∠CDN=∠ADC，
∴△CND∽△ACD，
∴
∴ND=
∴AN=
∵∠BAD=∠DAC．∠ABN=∠ADC．
∴△ANB∽△ACD．
∴C△AND=C△ACD×=(6+2)×=
③如图3．
过点O作OM⊥AB于点M，则AM=MB=AB．
设CG=x．则FG=x，OG=5-x，OF=5-2x.
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2，
AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x，
∵AD∥HC，FG=GC．
∴AH=AF=HF，
∴AG=HC．
∴AF·AM=HF·AB=HF·AB=×88=22，
∵∠AGF=∠OMF=90°，∠AFG=∠OFM，
∴△AFG∽△OFM．
∴
∴AF·FM=OF·GF，
∴AF∴AM=AF
∴(AF+FM)=AF2+AF·FM=AF2+OF·GF=22，
可得方程10x+x(5-2x)=22．解得x1=2．x2=5.5(舍去)，
∴CG=FG=2．
∴OG=3．
∴AG=4．
∴HC=8．AH=AF=，
∴S△CMA=8，
∵AD∥HC．
∴∠CAD=∠ACH．
∴，
∴∠B=∠CAD，
∴∠B=∠ACH，
∵∠H=∠H．
∴△CHA∽△BHC∴S△BHC=8×()2=
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AO，利用等弧所对圆周角相等可证得BAD=∠CAD，同时可证得△CAG≌△FAG，利用全等三角形的性质可证得CG=FG；设CG=FG=a，利用已知可表示出OG，AO的长，利用勾股定理可得到方程，解方程求出AG的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FAG的值.
（2）①连接AO，可得到CF，FG，OG的长，利用勾股定理求出AG的长，利用垂径定理求出AD的长；再证明BC=AD，可得到BC的长；②连接CD，利用平行线等分线段，可知AH=AF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AC=AH=AF，设CG=x，可表示出FG，OG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AG，AD的长；再利用圆周角定理证明∠DAC=∠BCD，可推出△CND∽△ACD，利用全等三角形的性质可求出ND的长，即可得到AN的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ANB∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出△ANB的周长；③过点O作OM⊥AB于点M，设CG=x=FG，可表示出OG，OF的长，利用勾股定理可表示出AF2=AG2+FG2，再证明△AFG∽△OFM，利用相似三角形的性质可证得AF·FM=OF·GF=AF2+OF·GF=22，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG，FG，OGAG的长，即可求出AH的长；利用相似三角形的判定定理可证得△CHA∽△BHC，利用相似三角形的性质可求出△BHC的面积.
1 / 1

展开更多......

收起↑