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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题自学案
学习目标
能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
掌握用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”。
了解向量法、综合法与坐标法的特点，能够根据具体问题的特点选择合适的方法。
体会几何直观与代数运算之间的融合，通过数与形的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，发展直观想象、数学运算的核心素养。
知识清单
距离
（1）直线外一点到直线的距离
如图，是直线的单位方向向量，在直线上的投影向量为在中，由勾股定理，得
（2）两平行直线之间的距离
（转化为点到直线的距离）在其中一条直线上取定一点，将所求转化为直线外一点到直线的距离。
两异面直线之间的距离
如图，在上分别取点，求出与的方向向量都垂直的向量，则在向量上的投影向量的长度即为异面直线的距离，为。
平面外一点到平面的距离
如图，设平面的法向量为，在直线的投影向量为，则点P到平面的距离PQ=______________。
平面的线面、面面间的距离
转化为平面外一点到平面的距离。
夹角
异面直线所成角
设异面直线与所成角为，与的方向向量分别为，则，其中的取值范围是_________。
线面所成角
设直线AB与平面所成角为，直线AB的方向向量为，平面的法向量为，则，其中的取值范围是_________。
面面夹角
设平面与平面的夹角为，平面的法向量为，则，其中的取值范围是_________。
问：（1）直线与平面平行时，直线到平面的距离一般如何求解？
两平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
（3）两平面的夹角与这两平面形成的二面角有什么关系？
自我检测
已知直线过定点A(2,3,1)，且为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线的距离为___________。
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1B1,BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为____________。
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是线段BB1,B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__________.
（多选题）已知直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
若，则直线//平面
B. 若，则直线⊥平面
C. 若，则直线与平面所成角的大小为
D. 若，则平面的夹角为
5. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，.（1）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值；（2）求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值。
6.直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
如图,在三棱锥中,平面,,
,,,.
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求平面ASD与平面SDC夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
自我检测答案
； 2. ；3. ； 4. BCD;
解：（1）依题意可知B1A,B1C1,B1B两两互相垂直，以B1为原点，的方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(2,0,1),B1(0,0,0),B(0,0,1),C(0,1,1),
C1(0,1,0),，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。
由（1）可得，设平面AB1C的法向量为，则令x=1,则y=2,z=-2，故，设直线BC1与平面AB1C所成角为，则，所以直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值为。
6.证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示,则、、、、、、、、，则，
（1）易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2），，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3），，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
7.如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得
,,,,． ……………（1 分）
（Ⅰ）证明:因为,,,
所以,.
即,． …………（3 分）
因为,
所以平面． ……………（4 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）可知为
平面的一个法向量． ………（5 分）
设平面的法向量为,
而,,
则即不妨设,可得． ……（7 分）
因此有.
即平面ASD与平面SDC夹角的余弦值为． ……………………………（9 分）
（Ⅲ）解:,,,
作平面,垂足为,
设,且.
由,,得
解得 ……………………………（11分）
所以，. 即点到平面的距离为．

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