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第六章 数据的分析
6.4．数据的离散程度
第1课时 极差、方差和标准差
学习目标
1．经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程；
2．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、方差、标准差；
3．能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用；
4.通过实例体会用样本估计总体的思想。
学习策略
经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力。
学习过程
一情境导入：
本章前面曾经有一个图，反映了甲乙丙三个选手的射击成绩。显然，图中甲的成绩整体水平比丙的好。那么，甲乙两人的射击成绩如何比较呢？除了平均水平外，是否还有其他直播奥反映数据的信息呢。
二.新课学习：
1.极差、方差、标准差的概念
1.（1）估计甲、乙两位选手射击成绩的平均数；
（2）具体算一算甲、乙两位选手射击成绩的平均数，并在图中画出纵坐标等于平均成绩的直线；
（3）甲乙的平均成绩差不多，但好像稳定性差别挺大的。你认为哪个选手更稳定？你是怎么看出来的？
（4）一般地，你认为如何刻画一组数据的稳定性。
2.分别求甲、乙两位选手射击成绩的极差、方差、标准差，说明选手更稳定。
甲选手：极差= ；方差= ；标准差= ；
乙选手：极差= ；方差= ；标准差= 。
选手 更稳定。
2.在实例中感受极差、方差、标准差的关系
1.为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分。某外贸公司要出口一批规格为75克的鸡腿，现有3个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。
质检员分别从甲、乙、丙3个工厂的产品中抽样调查了20个只鸡腿，它们的质量如下图所示：
（1）观察上图，你认为哪个工厂抽取的鸡腿更符合要求？你是如何“看”出来？
（2）依次求出三个工厂抽取的10个样品的极差、标准差、方差，并与自己圆心的估计进行比较。
2．极差、方差、标准差三者之间有什么区别和联系？在选择统计量刻画数据的波动水平方面，你有哪些经验，与同伴交流。
3：探索用计算器求极差、方差、标准差
1.探索用计算器求数据的极差、方差、标准差，并与同伴交流。
提示：与求数据代表类似，总得先进入统计状态，依次输入数据，只是最后选择的统计量不一样了；另外，多数计算器没有方差键，可以先算出标准差，然后再平方。
2. 用计算器求三个工厂鸡腿的极差、方差、标准差，并与原来的计算结果进行对比。
三.尝试应用：
1.有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（　　）
2.一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（　　）
A．2 B．4 C．1 D．3
3.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些高低不平的台阶。如图是其中的甲、乙两段台阶的示意图。请你用所学过的有关统计知识回答下列问题：
（1）两段台阶有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。
四.自主总结：
1.实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离情况。极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量。
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即其中，是的平均数，是方差。
标准差就是方差的算术平方根。
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
五.达标测试
1.若一组数据-1，0，2，4，x的极差为7，则x的值是（　　）
A．-3 B．6 C．7 D．6或-3
2.某班数学学习小组某次测验成绩分别是63，72，70，49，66，81，53，92，69，则这组数据的极差是（　　）
A．47 B．43 C．34 D．29
3.某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为=141.7，=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（　　）
A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定
4.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（　　）
A．9 B．3 C． D．
5.要从甲.乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．
（1）已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；
（2）观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差，哪个大；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选 参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选 参赛更合适．
6.25.某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2．
（1）求乙进球的平均数和方差；
（2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
尝试应用答案：
1.D 2.A
3.解：（1）相同点是：都有6级台阶，平均高度均为15；不同点是：第一段台阶的标准差是0.894427，第二段台阶的标准差是3.741657；
（2）第一段台阶走起来更舒服。因为它台阶高度的标准差比第二段台阶高度的标准差小，走起来更平稳。
（3）将这两段台阶的高度都尽可能修成15。
达标测试答案
1.D 2.B 3.B 4.D
5.解：（1）乙的平均成绩是：（8+9+8+8+7+8+9+8+8+7）÷10=8（环）；
（2）根据图象可知：甲的波动小于乙的波动，则＞；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．
6.解： （1）乙的平均数为：（7+9+8+9+7）÷5=8，
乙的方差：=0.8，
（2）∵＞，
∴乙成绩稳，选乙合适．
必要的时候，查看说明书。

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