资源简介

11.2.2三角形的外角
学习目标
1.了解三角形外角的概念.
2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.运用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解决简单问题.
学习策略
1.通过合作探究证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
2.牢记三角形三角形的外角和定理，应用其进行相关的计算.
学习过程
一.复习回顾：
1.三角形内角和定理和推论的内容；直角三角形的判定方法？
2.如图,已知BD∥CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠2的度数
二.新课学习：
阅读课本本课时内容，解决下列问题.
知识点一：三角形的外角的概念
1.如图1，△ABC的内角∠ACB的一条边CA与另一条边BC的　 　组成的角，称为△ABC的　 　.
【答案】延长线；外角
2.如图1，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB的数量关系是　 　.
【答案】互补
知识点二：三角形的外角的性质
1.如图1，完成如下证明过程：
在△ABC中，因为∠A+∠B+∠ACB=180° (　 　)，∠ACB+∠ACD=180°(　 　)，
所以∠ACD=　 　.
【答案】三角形内角和定理；平角的定义；∠A+∠B
2.根据整体大于部分，由1知∠ACD=∠A+∠B，所以∠ACD　　∠A，∠ACD　　∠B.(填“>”“=”或“<”)
【答案】>；>
3.三角形每个顶点处取一个外角，则三角形的外角和等于　　.
【答案】360°
三.尝试应用
例 1如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．
因为∠BAC＝63°，
所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，
所以x＝39°；
所以∠3＝∠4＝78°，
∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．
例2 如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P.
试证明∠P=90°+∠A.
变式一：如图,若CP是△ABC外角∠ACD的平分线,那么∠P与∠A有什么关系 试证明你的结论.
变式二：如图,在上题中,如果BP,CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线,那么∠P与∠A有什么关系 试证明你的结论.
解：证明：因为∠ABC与∠ACB的平分线交与点P，
所以∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），
因为∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
所以∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
变式一：证明：因为BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
所以∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∠PCD＝∠PBC+∠P，
所以∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，
所以∠BAC＝2∠P，
所以∠P＝∠BAC，即∠P＝∠A；
变式二：BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
所以∠BCP＝（∠A+∠ABC）、∠PBC＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC，
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
＝180°﹣（∠A+180°），
＝90°﹣∠A，即∠P＝90°﹣∠A．
四.自主总结：
本节课学习的知识有：1.三角形内角和定理的证明.
2.会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数.
3.直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余.
4.直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形.
学习的数学思想：转化法。
五、达标测试
一、选择题
1. 如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（　　）
A．52° B．53° C．54° D．55°
2.下列各图中能够说明∠2>∠1的是(　　)
3. 如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
4. 如图，下列关于∠A，∠B，∠C，∠1的关系中一定成立的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C+∠1 B．∠A+∠1＝∠B+∠C
C．∠A+∠B+∠C＝∠1 D．∠A+∠B+∠C+∠1＝360°
5. .如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
二、填空题
6. 如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=__度．
7.一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是_________．
8. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和BC上的点，连接ED并延长交CA的延长线于点F．若∠B＝35°，∠C＝56°，∠F＝47°，则∠ADF的度数为 　 　．
三、解答题
9. 如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数．
10. 如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，求证：AD∥BC．
参考答案
1.B 解析：因为∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°，所以∠2=∠3-∠1=108°-55°=53°．
2.B解析：根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，可知选择B.
3. B解析：因为∠A=70°，∠ABD=120°，所以∠C=∠ABD-∠A=50°，故选：B．
4. 解析：延长AD交BC于点E，
因为∠AEC＝∠A+∠B，∠1＝∠C+∠ACE，所以∠1＝∠A+∠B+∠C，故选：C．
5. C解析：因为BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，因为∠ABP=20°，∠ACP=50°，所以∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，所以∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°，所以∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，因为∠BPC=20°，所以∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，所以∠A+∠P=90°．
6.45 解析：因为∠ABD是△ABC的外角，所以∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，所以∠1=180°-∠ABD-∠D=180°-110°-25°=45°．
7.75° 解析：如图，∠1=45°-30°=15°，∠α=90°-∠1=90°-15°=75°．
8. 42°解：因为∠DAF是△ABC的外角，∠B＝35°，∠C＝56°，
所以∠DAF＝∠B+∠C＝91°，因为∠F＝47°，所以∠ADF＝180°﹣∠F﹣∠DAF＝42°．
9. .解：因为DE=EB，所以设∠BDE=∠ABD=x，所以∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，因为AD=DE，所以∠AED=∠A=2x，所以∠BDC=∠A+∠ABD=3x，因为BD=BC，
所以∠C=∠BDC=3x，因为AB=AC，所以∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，所以∠A=2x=22.5°×2=45°．
10. 解：因为∠EAC为△ABC的外角，
所以∠EAC＝∠ABC+∠ACB，
因为∠ABC＝∠ACB，
所以∠EAC＝2∠ACB，
因为AD平分∠EAC，
所以∠EAC＝2∠DAC，
所以∠DAC＝∠ACB，
所以AD∥BC．

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