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第六单元第3讲 等比数列及其前n项和
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：等比数列的基本运算
题型二：等比数列的判定与证明
题型三：等比数列的性质
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【讲方法】
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
3.等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
4.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
二、【练】
【练题型】
【题型一】等比数列的基本运算
【典例1】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1
B．2－21－n
C．2－2n－1
D．21－n－1
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，
故选B.
【典例2】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝(　　)
A．－2 B．2
C．－8 D．－2或－8
【解析】依题意知解得q＝－2(q＝1舍去)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－8，
故选C.
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
【题型二】等比数列的判定与证明
【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
【典例2】已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
【解析】(1)证明　an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an>0，所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)解　由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝×3n－1.
【典例3】已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
则cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，
当q＝－时，cn＝0，数列{cn}不是等比数列；
当q≠－时，因为cn≠0，
所以＝＝q，
所以数列{cn}是等比数列．
【题型三】等比数列的性质
【典例1】若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于(　　)
A. B．1 011
C. D．1 012
【解析】由题意得a5a2 019＝3，
根据等比数列性质知，
a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，
于是a1 012＝，
则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023
＝log3(a1a2a3…a2 023)
故选C.
【典例2】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
【解析】数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
故选B.
【典例3】已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【解析】由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.
【练真题】
【真题1】(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.
故选A.
【真题2】(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.
当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；
若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故选B.
【真题3】(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
【解析】由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3.
所以S5＝＝＝.
【真题4】(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
【解析】方法一　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
Sn＝＝2n－1，
所以＝＝2－21－n.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
则
得＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4.
所以a1＝＝1，下同方法一．
故选B.
【真题5】(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
故选C.
【真题6】(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
①求{an}的通项公式；
②求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
【解析】①设{an}的公比为q(q>1)．
由题设得
解得或(舍去)．
所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.
②由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1
＝(－1)n－122n＋1，
故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝－(－1)n.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.6
【解析】根据等比数列的性质得a3a5＝a，
∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.
又a1＝1，a1a7＝a＝4，∴a7＝4.
故选B.
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　)
A.－ B. C. D.
【解析】设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，又a2＝－8，a7＝，
∴q＝－，故a1＝16，又Sn＝，
即S6＝＝＝.
故选C.
3. 某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(　　)
A.100 B.140 C.180 D.120
【解析】∵A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，C产品的数量为20，
∴A产品的数量为，B产品的数量为，
∵样本容量为260，∴＋＋20＝260，
解得q＝或－(舍去)，q＝，
则A产品的数量为＝＝180，
故选C.
4. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．－20
【解析】易知等比数列{an}的前n项和Sn满足S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…成等比数列．设{an}的公比为q，则＝q10>0，故S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…均大于0.
故(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
即(S20－1)2＝1·(7－S20) S－S20－6＝0.
因为S20>0，所以S20＝3.
又(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，
所以(7－3)2＝(3－1)(S40－7)，故S40＝15.
故选C.
【多选题】
5. 设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
【解析】对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D，＝＝，
所以数列是公比为的等比数列．
故选AD.
6. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝
【解析】由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即＝3(n≥2)，
又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝
当n≥2时，Sn＝＝＝3n－1，
又S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，
又＝＝3，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．
故选ABD.
【填空题】
7. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5－1，则公比q＝________.
【解析】若q＝1，则S4＝4，a5－1＝0，等式S4＝a5－1不成立，所以q≠1.由S4＝a5－1，得＝a1q4－1，结合a1＝1整理，得(q4－1)(2－q)＝0.又q≠1，
所以q＝2或q＝－1.
8. 已知在递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.
【解析】因为数列{an}为等比数列，且a3·a7＝2，
所以a2·a8＝2，
因为数列{an}为递增等比数列，
所以由得
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
则得q6＝2，q3＝，
所以＝q3＝.
【解答题】
9. 等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
10. 已知数列{an}是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值．
【解析】(1)由a2＝2，S3＝7得
解得或(舍去)
所以an＝4·＝.
(2)由(1)可知，Sn＝＝＝8＜8.
因为an＞0，所以Sn单调递增．
又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7，8)．
又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.
11. 在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为a1＝6，a2＝12－a3，
所以6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1，
所以an＝6×(－2)n－1或an＝6.
(2)①若an＝6×(－2)n－1，
则Sn＝＝2[1－(－2)n]，
由Sm＝66，得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5.
②若an＝6，q＝1，则{an}是常数列，
所以Sm＝6m＝66，解得m＝11.
综上，m的值为5或11.
【测能力】
【单选题】
1. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为(　　)
A.×(310－1) B.×(910－1)
C.×(279－1) D.×(2710－1)
【解析】因为an＋1－an＝＝3，
所以{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n－1＝3n－1，
所以ban＝33n－3＝27n－1，
所以{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，
所以{ban}的前10项和为＝×(2710－1)，
故选D.
2. 已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论不正确的是(　　)
A．数列{an＋1＋an}为等比数列
B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝
D．S20＝(410－1)
【解析】因为an＝an－1＋2an－2(n≥3)，
所以an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝2≠0，
所以{an＋an＋1}是等比数列，A正确；
同理an－2an－1＝an－1＋2an－2－2an－1＝－an－1＋2an－2＝－(an－1－2an－2)，而a2－2a1＝－1，
所以{an＋1－2an}是等比数列，B正确；
若an＝，则a2＝＝3，
但a2＝1≠3，C错误；
由A知{an＋an－1}是等比数列，且公比为2，
因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，
所以S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＝＝(410－1)，D正确．
故选C.
3. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N＋，则下列说法不正确的是(　　)
A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列
C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1
【解析】∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，
由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，
∴＝2，
∴{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，
∴a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，
∴a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，
综上可知，ABC正确，D错误.
故选D.
4. 已知数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足： (ai＋i)＝2bn－2，b1＝2，b2＋b3是b3与b4的等差中项，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论不正确的是(　　)
A.数列{an－bn}是等差数列
B.Sn＝2n＋1－2－
C.数列{an}是递增数列
D. ＜2
【解析】设{bn}的公比为q.
由题知b3＋b4＝2(b2＋b3) b4－b3－2b2＝0 q2－q－2＝0 q＝2或－1(舍)，故bn＝2n，an＋n＝2bn－2bn－1＝2n＋1－2n＝2n，an＝2n－n，an－bn＝－n，故{an－bn}为等差数列，A正确；
Sn＝2＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)＝2(2n－1)－，B正确；
an＋1－an＝2n－1≥1，故{an}是递增数列，C正确；
当n＝1时，＝1，2＝1，矛盾，故D错误.
故选D.
【多选题】
5. 如图，已知点E是 ABCD的边AB的中点，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn，点Gn(n∈N*)满足＝an＋1·－2(2an＋3)·，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列
C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2
【解析】＝an＋1·－2(2an＋3)·(＋)，
故＝(an＋1－2an－3)·－(2an＋3)·，
，共线，故an＋1－2an－3＝0，
即an＋1＋3＝2(an＋3)，a1＝1，
故an＋3＝4×2n－1，故an＝2n＋1－3.
a3＝24－3＝13，A正确；
数列{an＋3}是等比数列，B正确；
an＝2n＋1－3，C错误；
Sn＝4×－3n＝2n＋2－3n－4，故D错误．
故选AB.
6. 已知数列{an}不是常数列，其前n项和为Sn，则下列选项正确的是(　　)
A．若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则{an}为递增数列
B．若数列{an}为等差数列，a1>0，S3＝S10，则Sn的最大值在n＝6或7时取得
C．若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021>0恒成立
D．若数列{an}为等比数列，则{}也为等比数列
【解析】对于A，若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则公差d>0，故{an}为递增数列，故A正确；
对于B，若数列{an}为等差数列，a1>0，设公差为d，由S3＝S10，得3a1＋d＝10a1＋d，即a1＝－6d，故an＝(n－7)d，所以当n≤7时，an≥0，a7＝0，故Sn的最大值在n＝6或7时取得，故B正确；
对于C，若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021＝·a1·q2 020＝a·q2 020·>0恒成立，故C正确；
对于D，若数列{an}为等比数列，则，所以不是常数，故{}不是等比数列，故D错误．
故选ABC.
【填空题】
7. 已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
【解析】因为＝an，
令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，
所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，
Sn＝＝2n＋1－2.
8. 已知等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有A≤2Sn－≤B恒成立，则B－A的最小值为______．
【解析】因为等比数列{an}的首项为，公比为－，所以Sn＝＝1－.令t＝，则－≤t≤，Sn＝1－t，所以≤Sn≤，所以2Sn－的最小值为，最大值为.又因为A≤2Sn－≤B对任意n∈N*恒成立，所以B－A的最小值为－＝.
【解答题】
9. 已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
【解析】(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以Sn＝＝<.
因为 n∈N*，Sn≤m恒成立，
所以m≥，即实数m的最小值为.
10. 已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞成立的最大正整数k的值.
【解析】(1)设公比为q.由题意得a1＋a2＝2a3，
∴a1(1＋q－2q2)＝0，
又∵a1≠0，∴q＝－或1(舍)，
∵a1＋a3＝5，∴a1(1＋q2)＝5，∴a1＝4，
∴an＝4·.
(2)Sn＝＝.
∵Sk＞，∴＞，
∴＜－，
显然，k为奇数，即＞＞＝.
解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.
11. 已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2＋1，{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图________，Tn的图象经过A，B两个点．
(1)求Sn；
(2)若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.由S3＝3a2＋1，a3＝1，得a1＝2a2，故q＝＝.
又因为a3＝a1q2，所以a1＝4，
所以Sn＝＝8＝8－23－n.
(2)设等差数列{bn}的公差为d.
由题图①知：T1＝b1＝1，T3＝－3，可判断d＜0，故数列{bn}是递减数列．而{Sn}是递增数列，且b1＜S1，
所以不满足“存在正整数n，使得bn＞Sn”．
由题图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断d＞0，故数列{bn}是递增数列．
由题图③知：T1＝b1＝－3，T3＝0，可判断d＞0，故数列{bn}是递增数列．
所以选择题图②③均满足“存在正整数n，使得bn＞Sn”．
若选择题图②，则T1＝b1＝1，T3＝6，可得d＝1，所以bn＝n.
当n＝1，2，3，4，5，6，7时，bn＞Sn不成立，
当n＝8时，b8＝8，S8＝8－23－8，即S8＜b8，
所以使得bn＞Sn成立的正整数n的最小值为8.
若选择题图③，则T1＝b1＝－3，T3＝0，可得d＝3，所以bn＝3n－6.
当n＝1，2，3，4时，bn＞Sn不成立，
当n＝5时，b5＝9，S5＝8－23－5，即S5＜b5，
所以使得bn＞Sn成立的正整数n的最小值为5.
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第六单元第3讲 等比数列及其前n项和
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：等比数列的基本运算
题型二：等比数列的判定与证明
题型三：等比数列的性质
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【讲方法】
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
3.等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
4.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
二、【练】
【练题型】
【题型一】等比数列的基本运算
【典例1】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1
B．2－21－n
C．2－2n－1
D．21－n－1
【典例2】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝(　　)
A．－2 B．2
C．－8 D．－2或－8
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
【题型二】等比数列的判定与证明
【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【典例2】已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
【典例3】已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
【题型三】等比数列的性质
【典例1】若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于(　　)
A. B．1 011
C. D．1 012
【典例2】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
【典例3】已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【练真题】
【真题1】(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
【真题2】(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【真题3】(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
【真题4】(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
【真题5】(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【真题6】(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
①求{an}的通项公式；
②求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.6
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　)
A.－ B. C. D.
3. 某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(　　)
A.100 B.140 C.180 D.120
4. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．－20
【多选题】
5. 设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
6. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝
【填空题】
7. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5－1，则公比q＝________.
8. 已知在递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.
【解答题】
9. 等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
10. 已知数列{an}是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值．
11. 在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.
【测能力】
【单选题】
1. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为(　　)
A.×(310－1) B.×(910－1)
C.×(279－1) D.×(2710－1)
2. 已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论不正确的是(　　)
A．数列{an＋1＋an}为等比数列
B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝
D．S20＝(410－1)
3. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N＋，则下列说法不正确的是(　　)
A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列
C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1
4. 已知数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足： (ai＋i)＝2bn－2，b1＝2，b2＋b3是b3与b4的等差中项，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论不正确的是(　　)
A.数列{an－bn}是等差数列
B.Sn＝2n＋1－2－
C.数列{an}是递增数列
D. ＜2
【多选题】
5. 如图，已知点E是 ABCD的边AB的中点，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn，点Gn(n∈N*)满足＝an＋1·－2(2an＋3)·，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列
C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2
6. 已知数列{an}不是常数列，其前n项和为Sn，则下列选项正确的是(　　)
A．若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则{an}为递增数列
B．若数列{an}为等差数列，a1>0，S3＝S10，则Sn的最大值在n＝6或7时取得
C．若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021>0恒成立
D．若数列{an}为等比数列，则{}也为等比数列
【填空题】
7. 已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
8. 已知等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有A≤2Sn－≤B恒成立，则B－A的最小值为______．
【解答题】
9. 已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
10. 已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞成立的最大正整数k的值.
11. 已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2＋1，{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图________，Tn的图象经过A，B两个点．
(1)求Sn；
(2)若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
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