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第六单元第2讲 等差数列及其前n项和
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：等差数列的基本运算
题型二：等差数列的判定与证明
题型三：等差数列项的性质
题型四：等差数列前n项和的性质
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
【讲方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
3.判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
4.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
5.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
二、【练】
【练题型】
【题型一】等差数列的基本运算
【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5　　　　　 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．16
C．14 D．12
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．
【题型二】等差数列的判定与证明
【典例1】已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【典例2】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}为等差数列．
【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【题型三】等差数列项的性质
【典例1】设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　)
A．72 B．36 C．18 D．9
【典例2】在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
【典例3】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________．
【题型四】等差数列前n项和的性质
【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　　)
A．110 B．150
C．210 D．280
【典例2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
【典例3】等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
【真题2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.
【真题3】(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【真题4】(2021·全国乙卷)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
【真题5】(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
【真题6】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【真题7】(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．
【真题8】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝(　　)
A. B.5 C.10 D.40
2. 已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
3. 在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项不正确的是(　　)
A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5
C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
【多选题】
5. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
6. 已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列结论正确的是(　　)
A．公差d<0
B．在所有小于0的Sn中，S17最大
C．a8>a9
D．满足Sn>0的n的个数为15
【填空题】
7. 若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________.
8. 已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.
【解答题】
9. 已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
10. 在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
11. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【测能力】
【单选题】
1. 已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为(　　)
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
2. 已知定义：在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列．下列命题不正确的是(　　)
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于(　　)
A．20 B．17 C．19 D．21
【多选题】
5. 设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项正确的有(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
6. 设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　)
A．a2a9的最大值为10 B．a2＋a9的最大值为2
C.＋的最大值为 D．a＋a的最小值为200
【填空题】
7. 已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝________，数列{an}中最大项的值为________．
8. 设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
【解答题】
9. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
10. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
11. 等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值.
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第六单元第2讲 等差数列及其前n项和
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：等差数列的基本运算
题型二：等差数列的判定与证明
题型三：等差数列项的性质
题型四：等差数列前n项和的性质
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
【讲方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
3.判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
4.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
5.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
二、【练】
【练题型】
【题型一】等差数列的基本运算
【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5　　　　　 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【解析】方法一：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得
选项A，a1＝2×1－5＝－3；
选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；
选项D，S1＝－2＝－，排除D.
故选A.
【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．16
C．14 D．12
【解析】设{an}的公差为d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，
选C.
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，
又a1＝1，所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180.
解得m＝5.
【题型二】等差数列的判定与证明
【典例1】已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：当n≥2时，Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
两边同时除以SnSn－1，得－＝2.
又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
当n＝1时，a1＝，不适合上式．
所以an＝
【典例2】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}为等差数列．
【解析】因为bn＝，且an＋1＝，所以bn＋1＝＝＝1＋＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.又b1＝＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【解析】(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
【题型三】等差数列项的性质
【典例1】设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　)
A．72 B．36 C．18 D．9
【解析】∵a6＋a4＝2a5，
∴a5＝4，
∴S9＝＝9a5＝36.
故选B.
【典例2】在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，
∴a7＝a6＋a8，
即a7－a8＝a6＝8，
选C.
【典例3】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________．
【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，公差为d.
由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
【题型四】等差数列前n项和的性质
【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　　)
A．110 B．150
C．210 D．280
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150.
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280.
故选D.
【典例2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
【解析】∵为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S2 023＝2 023×2＝4 046.
故选C.
【典例3】等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
【解析】＋＝＝＝，
∴＝＝＝＝.
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
【真题2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.
【解析】法一(观察归纳法)　数列的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n项和为Sn＝
＝＝3n2－2n.
法二(引入参变量法)　令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同法一.
【真题3】(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，
所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列.
①② ③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列.
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列.
【真题4】(2021·全国乙卷)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，
即bn－bn－1＝(n≥2).
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列.
(2)解　由(1)可知，bn＝＋(n－1)＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
故an＝
【真题5】(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
【解析】设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块).
故选C.
【真题6】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【解析】法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A．
法二：设等差数列{an}的公差为d，
因为所以解得
选项A，a1＝2×1－5＝－3；
选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；
选项D，S1＝－2＝－，排除D．
故选A．
【真题7】(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得所以S10＝10×1＋×2＝100.
【真题8】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【解析】(1)设{an}的公差为d，
由S9＝－a5得a1＋4d＝0，
由a3＝4得a1＋2d＝4，
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝(　　)
A. B.5 C.10 D.40
【解析】设公差为d，由已知得
由于d≠0，
故a1＝d＝，所以a10＝＋×9＝.
故选A.
2. 已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
【解析】数列{an}满足5an＋1＝25·5an，
∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2.
∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.
∴a1＋3×2＝3，解得a1＝－3.
∴a5＋a7＋a9＝3a7＝3×(－3＋6×2)＝27，
则log(a5＋a7＋a9)＝log33＝－3.
故选A.
3. 在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
【解析】令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，
所以{an}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋ak＝＝＝135.
整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍).
故选B.
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项不正确的是(　　)
A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5
C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
【解析】S4＝＝0，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确，
故选D.
【多选题】
5. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
【解析】由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，
S15＝＝15a8为定值，
但S16＝＝8不是定值．
故选BC.
6. 已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列结论正确的是(　　)
A．公差d<0
B．在所有小于0的Sn中，S17最大
C．a8>a9
D．满足Sn>0的n的个数为15
【解析】∵S8>S9，且S9＝S8＋a9，
∴S8>S8＋a9，即a9<0，
又S8>S7，S8＝S7＋a8，
∴S7＋a8>S7，即a8>0，
∴d＝a9－a8<0，故A，C中的结论正确；
∵S9>S7，S9＝S7＋a8＋a9，
∴S7＋a8＋a9>S7，即a8＋a9>0，
又a1＋a16＝a8＋a9，
∴S16＝＝8(a8＋a9)>0，
又a1＋a15＝2a8，
∴S15＝＝15a8>0，
又a1＋a17＝2a9，且a9<0，
∴S17＝＝17a9<0，
故B中的结论正确，D中的结论错误．
故选ABC.
【填空题】
7. 若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________.
【解析】S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，
∴a6＝4，∴S11＝＝11a6＝44.
8. 已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.
【解析】∵－＝1，∴{}为等差数列，
又＝＝1，∴＝n，即Sn＝n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又a1＝1满足上式，∴an＝2n－1.
【解答题】
9. 已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【解析】(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
10. 在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【解析】(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则由(1)可得，
Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝
11. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵S2＝2，S3＝－6，
∴解得
∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10，
∴Sn＝4n＋×(－6)＝－3n2＋7n.
(2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3，
∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2，
解得n＝5.
【测能力】
【单选题】
1. 已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为(　　)
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，
故选B．
2. 已知定义：在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列．下列命题不正确的是(　　)
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【解析】若{an}是等方差数列，则a－a＝p，故{a}是等差数列，故A正确；当an＝(－1)n时，a－a＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{an}是等方差数列，则由A知{a}是等差数列，从而{a}(k∈N*，k为常数)是等差数列，设其公差为d，则有a－a＝d.由定义知{akn}是等方差数列，故C不正确；若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则a－a＝p，an－an－1＝d，所以a－a＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)＝p，若d≠0，则an＋an－1＝.又an－an－1＝d，解得an＝，{an}为常数列；若d＝0，该数列也为常数列，故D正确．
故选C.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，
即＋＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解．
故选C.
4. 已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于(　　)
A．20 B．17 C．19 D．21
【解析】因为a9＋3a11<0，
所以a9＋a11＋2a11＝a9＋a11＋a10＋a12＝2(a11＋a10)<0 ，
所以a10＋a11<0.
因为a10·a11<0，
所以由等差数列的性质和求和公式可得a10>0，a11<0，
又可得S19＝19a10>0，而S20＝10(a10＋a11)<0，
进而可得Sn取得最小正值时n＝19.
故选C.
【多选题】
5. 设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项正确的有(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
【解析】因为S14>0，S15<0，
所以S14＝
＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，
即a7＋a8>0，
因为S15＝＝15a8<0，
所以a8<0，所以a7>0，
所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，
则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值．
故选ABD.
6. 设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　)
A．a2a9的最大值为10 B．a2＋a9的最大值为2
C.＋的最大值为 D．a＋a的最小值为200
【解析】因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，
所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，
即a＋a＝20.
①a2a9≤＝＝10，当且仅当a2＝a9＝时成立，故A选项正确；
②由于2≤＝10，所以≤，a2＋a9≤2，当且仅当a2＝a9＝时成立，故B选项正确；
③＋＝＝≥＝＝，当且仅当a2＝a9＝时成立，所以＋的最小值为，故C选项错误；
④结合①的结论，有a＋a＝(a＋a)2－2a·a＝400－2a·a≥400－2×102＝200，当且仅当a2＝a9＝时成立，故D选项正确．
故选ABD.
【填空题】
7. 已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝________，数列{an}中最大项的值为________．
【解析】由题意知an≠0，由an＋1＝得＝＝＋8，整理得－＝8，即数列是公差为8的等差数列，故＝＋(n－1)×8＝8n－17，所以an＝.当n＝1，2时，an＜0；当n≥3时，an＞0，则数列{an}在n≥3时是递减数列，故{an}中最大项的值为a3＝.
8. 设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
【解析】设等差数列{bn}的公差为d，由为常数，设＝k且b1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d＝2，k＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．
【解答题】
9. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【解析】(1)设{an}的公差为d，
由S9＝－a5得a1＋4d＝0，
由a3＝4得a1＋2d＝4，
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
10. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设公差为d，因为{an}为等差数列，
所以a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，又公差d＞0，所以a2＜a4，所以a2＝5，a4＝13.
所以所以所以an＝4n－3.
(2)存在．由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，
假设存在常数k，使数列{}为等差数列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
所以＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，
所以数列{}为等差数列．
故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．
11. 等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值.
【解析】(1)∵等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3＞a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴解得a1＝5，d＝－3.
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.
当n＜3时，T1＝5，T2＝7；
当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14.
∵Tn≥1 464，∴Tn＝－＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值为34.
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