第六单元第2讲 等差数列及其前n项和-2024年新高考数学一轮复习讲义之讲-练-测

资源下载
  1. 二一教育资源

第六单元第2讲 等差数列及其前n项和-2024年新高考数学一轮复习讲义之讲-练-测

资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第六单元第2讲 等差数列及其前n项和

讲知识 讲方法

练题型 练真题
题型一:等差数列的基本运算
题型二:等差数列的判定与证明
题型三:等差数列项的性质
题型四:等差数列前n项和的性质

测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+=.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列.
【讲方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
3.判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.
(2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.
(3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).
(4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).
4.项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
5.和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).
②S2n-1=(2n-1)an.
③依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
二、【练】
【练题型】
【题型一】等差数列的基本运算
【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  )
A.an=2n-5      B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+S5=2,S7=14,则a10=(  )
A.18          B.16
C.14 D.12
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S4=4S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若am+am+1+am+2+…+am+9=180(m∈N*),求m的值.
【题型二】等差数列的判定与证明
【典例1】已知数列{an}中,a1=,其前n项和为Sn,且满足an=(n≥2).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【典例2】已知数列{an}满足a1=1,an+1=,且bn=,n∈N*.求证:数列{bn}为等差数列.
【典例3】已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3的值;
(2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.
【题型三】等差数列项的性质
【典例1】设Sn为等差数列{an}的前n项和,且4+a5=a6+a4,则S9等于(  )
A.72 B.36 C.18 D.9
【典例2】在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为(  )
A.4 B.6 C.8 D.10
【典例3】一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=________.
【题型四】等差数列前n项和的性质
【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于(  )
A.110 B.150
C.210 D.280
【典例2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 020,-=6,则S2 023等于(  )
A.2 023 B.-2 023
C.4 046 D.-4 046
【典例3】等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+的值为________.
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.
【真题2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为__________.
【真题3】(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【真题4】(2021·全国乙卷)设Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
【真题5】(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(  )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
【真题6】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S4=0,a5=5,则(  )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
【真题7】(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=____________.
【真题8】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知公差不为0的等差数列{an}中,a2+a4=a6,a9=a,则a10=(  )
A. B.5 C.10 D.40
2. 已知数列{an}满足5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)=(  )
A.-3 B.3 C.- D.
3. 在数列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,则k=(  )
A.10 B.9 C.8 D.7
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列选项不正确的是(  )
A.a2+a3=0 B.an=2n-5
C.Sn=n(n-4) D.d=-2
【多选题】
5. 等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有(  )
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
6. 已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且S8>S9>S7,则下列结论正确的是(  )
A.公差d<0
B.在所有小于0的Sn中,S17最大
C.a8>a9
D.满足Sn>0的n的个数为15
【填空题】
7. 若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=20,则S11=________.
8. 已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N*),且a1=1,则an=________.
【解答题】
9. 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
10. 在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
11. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.
【测能力】
【单选题】
1. 已知函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)上单调,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为(  )
A.-200 B.-100
C.-50 D.0
2. 已知定义:在数列{an}中,若a-a=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为等方差数列.下列命题不正确的是(  )
A.若{an}是等方差数列,则{a}是等差数列
B.{(-1)n}是等方差数列
C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)不可能还是等方差数列
D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
4. 已知数列{an}是等差数列,若a9+3a11<0,a10·a11<0,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,那么Sn取得最小正值时n等于(  )
A.20 B.17 C.19 D.21
【多选题】
5. 设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S14>0,S15<0,则下列选项正确的有(  )
A.a1>0,d<0
B.a7+a8>0
C.S6与S7均为Sn的最大值
D.a8<0
6. 设正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则(  )
A.a2a9的最大值为10 B.a2+a9的最大值为2
C.+的最大值为 D.a+a的最小值为200
【填空题】
7. 已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N*),则an=________,数列{an}中最大项的值为________.
8. 设数列{an}的前n项和为Sn,若为常数,则称数列{an}为“精致数列”.已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“精致数列”,则数列{bn}的通项公式为________.
【解答题】
9. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
10. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2a4=65,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在常数k,使得数列{}为等差数列?若存在,求出常数k;若不存在,请说明理由.
11. 等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和,其中bn=|an|,n∈N*,若Tn≥1 464,求n的最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第六单元第2讲 等差数列及其前n项和

讲知识 讲方法

练题型 练真题
题型一:等差数列的基本运算
题型二:等差数列的判定与证明
题型三:等差数列项的性质
题型四:等差数列前n项和的性质

测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+=.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列.
【讲方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
3.判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.
(2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.
(3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).
(4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).
4.项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
5.和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).
②S2n-1=(2n-1)an.
③依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
二、【练】
【练题型】
【题型一】等差数列的基本运算
【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  )
A.an=2n-5      B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
【解析】方法一:设等差数列{an}的公差为d,
因为所以解得所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+d=n2-4n.故选A.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,
因为所以解得
选项A,a1=2×1-5=-3;
选项B,a1=3×1-10=-7,排除B;
选项C,S1=2-8=-6,排除C;
选项D,S1=-2=-,排除D.
故选A.
【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+S5=2,S7=14,则a10=(  )
A.18          B.16
C.14 D.12
【解析】设{an}的公差为d,由可得解得所以a10=-4+9×2=14,
选C.
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S4=4S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若am+am+1+am+2+…+am+9=180(m∈N*),求m的值.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由S4=4S2得,4a1+6d=8a1+4d,整理得d=2a1,
又a1=1,所以d=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N*).
(2)am+am+1+am+2+…+am+9=180可化为10am+45d=20m+80=180.
解得m=5.
【题型二】等差数列的判定与证明
【典例1】已知数列{an}中,a1=,其前n项和为Sn,且满足an=(n≥2).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)证明:当n≥2时,Sn-Sn-1=.
整理,得Sn-1-Sn=2SnSn-1.
两边同时除以SnSn-1,得-=2.
又==4,所以是以4为首项,以2为公差的等差数列.
(2)由(1)可得数列的通项公式为=4+(n-1)×2=2n+2,所以Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=.
当n=1时,a1=,不适合上式.
所以an=
【典例2】已知数列{an}满足a1=1,an+1=,且bn=,n∈N*.求证:数列{bn}为等差数列.
【解析】因为bn=,且an+1=,所以bn+1===1+=1+bn,故bn+1-bn=1.又b1==1,
所以数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.
【典例3】已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3的值;
(2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.
【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,
则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,
得2a3=12+3a2,所以a3=15.
(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),
得=2,即-=2,
所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列.
则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
【题型三】等差数列项的性质
【典例1】设Sn为等差数列{an}的前n项和,且4+a5=a6+a4,则S9等于(  )
A.72 B.36 C.18 D.9
【解析】∵a6+a4=2a5,
∴a5=4,
∴S9==9a5=36.
故选B.
【典例2】在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为(  )
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,
∴a6=16,又a6+a8=2a7,
∴a7=a6+a8,
即a7-a8=a6=8,
选C.
【典例3】一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=________.
【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,公差为d.
由已知条件,得
解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
【题型四】等差数列前n项和的性质
【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于(  )
A.110 B.150
C.210 D.280
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn,
所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列.
故(S30-S20)+S10=2(S20-S10),
所以S30=150.
又因为(S20-S10)+(S40-S30)=2(S30-S20),
所以S40=280.
故选D.
【典例2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 020,-=6,则S2 023等于(  )
A.2 023 B.-2 023
C.4 046 D.-4 046
【解析】∵为等差数列,设公差为d′,
则-=6d′=6,∴d′=1,
首项为=-2 020,
∴=-2 020+(2 023-1)×1=2,
∴S2 023=2 023×2=4 046.
故选C.
【典例3】等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+的值为________.
【解析】+===,
∴====.
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
则a2+a6=2a1+6d=2×(-2)+6d=2.
解得d=1.
所以S10=10×(-2)+×1=25.
【真题2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为__________.
【解析】法一(观察归纳法) 数列的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….现观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.
故前n项和为Sn=
==3n2-2n.
法二(引入参变量法) 令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.
令m=2t-1,则n=3t-2(t=1,2,3,…).
at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即an=6n-5.
以下同法一.
【真题3】(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【解析】①③ ②.
已知{an}是等差数列,a2=3a1.
设数列{an}的公差为d,则a2=3a1=a1+d,得d=2a1,
所以Sn=na1+d=n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数,
所以=n,
所以-=(n+1)-n=(常数),所以数列{}是等差数列.
①② ③.
已知{an}是等差数列,{}是等差数列.
设数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+d=n2d+n.
因为数列{}是等差数列,所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数,则a1-=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列,a2=3a1,所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列{}的公差为d,d>0,则-=-=d,得a1=d2,所以=+(n-1)d=nd,所以Sn=n2d2,
所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合,所以an=2d2n-d2,所以an+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数),所以数列{an}是等差数列.
【真题4】(2021·全国乙卷)设Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)证明 因为bn是数列{Sn}的前n项积,
所以n≥2时,Sn=,
代入+=2可得,+=2,
整理可得2bn-1+1=2bn,
即bn-bn-1=(n≥2).
又+==2,所以b1=,
故{bn}是以为首项,为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可知,bn=+(n-1)=,则+=2,所以Sn=,
当n=1时,a1=S1=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-.
故an=
【真题5】(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(  )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
【解析】设每一层有n环,由题可知从内到外每环之间构成公差d=9,a1=9的等差数列.由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n2d,则9n2=729,得n=9,则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+×9=3 402(块).
故选C.
【真题6】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S4=0,a5=5,则(  )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
【解析】法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
因为所以解得所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+d=n2-4n.故选A.
法二:设等差数列{an}的公差为d,
因为所以解得
选项A,a1=2×1-5=-3;
选项B,a1=3×1-10=-7,排除B;
选项C,S1=2-8=-6,排除C;
选项D,S1=-2=-,排除D.
故选A.
【真题7】(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=____________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则由题意,得解得所以S10=10×1+×2=100.
【真题8】(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】(1)设{an}的公差为d,
由S9=-a5得a1+4d=0,
由a3=4得a1+2d=4,
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知公差不为0的等差数列{an}中,a2+a4=a6,a9=a,则a10=(  )
A. B.5 C.10 D.40
【解析】设公差为d,由已知得
由于d≠0,
故a1=d=,所以a10=+×9=.
故选A.
2. 已知数列{an}满足5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)=(  )
A.-3 B.3 C.- D.
【解析】数列{an}满足5an+1=25·5an,
∴an+1=an+2,即an+1-an=2,
∴数列{an}是等差数列,公差为2.
∵a2+a4+a6=9,∴3a4=9,a4=3.
∴a1+3×2=3,解得a1=-3.
∴a5+a7+a9=3a7=3×(-3+6×2)=27,
则log(a5+a7+a9)=log33=-3.
故选A.
3. 在数列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,则k=(  )
A.10 B.9 C.8 D.7
【解析】令m=1,由am+n=am+an可得an+1=a1+an,所以an+1-an=3,
所以{an}是首项为a1=3,公差为3的等差数列,an=3+3(n-1)=3n,
所以a1+a2+a3+…+ak===135.
整理可得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍).
故选B.
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列选项不正确的是(  )
A.a2+a3=0 B.an=2n-5
C.Sn=n(n-4) D.d=-2
【解析】S4==0,
∴a1+a4=a2+a3=0,A正确;
a5=a1+4d=5,①
a1+a4=a1+a1+3d=0,②
联立①②得∴an=-3+(n-1)×2=2n-5,B正确,D错误;
Sn=-3n+×2=n2-4n,C正确,
故选D.
【多选题】
5. 等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有(  )
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
【解析】由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,
S15==15a8为定值,
但S16==8不是定值.
故选BC.
6. 已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且S8>S9>S7,则下列结论正确的是(  )
A.公差d<0
B.在所有小于0的Sn中,S17最大
C.a8>a9
D.满足Sn>0的n的个数为15
【解析】∵S8>S9,且S9=S8+a9,
∴S8>S8+a9,即a9<0,
又S8>S7,S8=S7+a8,
∴S7+a8>S7,即a8>0,
∴d=a9-a8<0,故A,C中的结论正确;
∵S9>S7,S9=S7+a8+a9,
∴S7+a8+a9>S7,即a8+a9>0,
又a1+a16=a8+a9,
∴S16==8(a8+a9)>0,
又a1+a15=2a8,
∴S15==15a8>0,
又a1+a17=2a9,且a9<0,
∴S17==17a9<0,
故B中的结论正确,D中的结论错误.
故选ABC.
【填空题】
7. 若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=20,则S11=________.
【解析】S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20,
∴a6=4,∴S11==11a6=44.
8. 已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N*),且a1=1,则an=________.
【解析】∵-=1,∴{}为等差数列,
又==1,∴=n,即Sn=n2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1满足上式,∴an=2n-1.
【解答题】
9. 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
【解析】(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,
由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,
所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.
由Sk=110,得k2+k-110=0,
解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.
(2)由(1)得Sn==n(n+1),
则bn==n+1,
故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,
所以Tn==.
10. 在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】(1)∵an+2-2an+1+an=0,
∴an+2-an+1=an+1-an,
∴数列{an}是等差数列,设其公差为d,
∵a1=8,a4=2,
∴d==-2,
∴an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,
则由(1)可得,
Sn=8n+×(-2)=9n-n2,n∈N*.
由(1)知an=10-2n,令an=0,得n=5,
∴当n>5时,an<0,
则Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)
=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn
=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;
当n≤5时,an≥0,
则Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=9n-n2,
∴Tn=
11. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵S2=2,S3=-6,
∴解得
∴an=4+(n-1)×(-6)=-6n+10,
∴Sn=4n+×(-6)=-3n2+7n.
(2)假设存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,
则2(Sn+2+2n)=Sn+Sn+3,
∴2[-3(n+2)2+7(n+2)+2n]=-3n2+7n+7(n+3)-3(n+3)2,
解得n=5.
【测能力】
【单选题】
1. 已知函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)上单调,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为(  )
A.-200 B.-100
C.-50 D.0
【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,又函数f(x)在(-1,+∞)上单调,数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100==50(a50+a51)=-100,
故选B.
2. 已知定义:在数列{an}中,若a-a=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为等方差数列.下列命题不正确的是(  )
A.若{an}是等方差数列,则{a}是等差数列
B.{(-1)n}是等方差数列
C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)不可能还是等方差数列
D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
【解析】若{an}是等方差数列,则a-a=p,故{a}是等差数列,故A正确;当an=(-1)n时,a-a=(-1)2n-(-1)2(n-1)=0,故B正确;若{an}是等方差数列,则由A知{a}是等差数列,从而{a}(k∈N*,k为常数)是等差数列,设其公差为d,则有a-a=d.由定义知{akn}是等方差数列,故C不正确;若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则a-a=p,an-an-1=d,所以a-a=(an-an-1)(an+an-1)=d(an+an-1)=p,若d≠0,则an+an-1=.又an-an-1=d,解得an=,{an}为常数列;若d=0,该数列也为常数列,故D正确.
故选C.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
∴数列也为等差数列.
∴+=,
即+=0,
解得m=5,经检验为原方程的解.
故选C.
4. 已知数列{an}是等差数列,若a9+3a11<0,a10·a11<0,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,那么Sn取得最小正值时n等于(  )
A.20 B.17 C.19 D.21
【解析】因为a9+3a11<0,
所以a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2(a11+a10)<0 ,
所以a10+a11<0.
因为a10·a11<0,
所以由等差数列的性质和求和公式可得a10>0,a11<0,
又可得S19=19a10>0,而S20=10(a10+a11)<0,
进而可得Sn取得最小正值时n=19.
故选C.
【多选题】
5. 设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S14>0,S15<0,则下列选项正确的有(  )
A.a1>0,d<0
B.a7+a8>0
C.S6与S7均为Sn的最大值
D.a8<0
【解析】因为S14>0,S15<0,
所以S14=
=7(a1+a14)=7(a7+a8)>0,
即a7+a8>0,
因为S15==15a8<0,
所以a8<0,所以a7>0,
所以等差数列{an}的前7项为正数,从第8项开始为负数,
则a1>0,d<0,S7为Sn的最大值.
故选ABD.
6. 设正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则(  )
A.a2a9的最大值为10 B.a2+a9的最大值为2
C.+的最大值为 D.a+a的最小值为200
【解析】因为正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,
所以(a2+a9)2=2a2a9+20,
即a+a=20.
①a2a9≤==10,当且仅当a2=a9=时成立,故A选项正确;
②由于2≤=10,所以≤,a2+a9≤2,当且仅当a2=a9=时成立,故B选项正确;
③+==≥==,当且仅当a2=a9=时成立,所以+的最小值为,故C选项错误;
④结合①的结论,有a+a=(a+a)2-2a·a=400-2a·a≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=时成立,故D选项正确.
故选ABD.
【填空题】
7. 已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N*),则an=________,数列{an}中最大项的值为________.
【解析】由题意知an≠0,由an+1=得==+8,整理得-=8,即数列是公差为8的等差数列,故=+(n-1)×8=8n-17,所以an=.当n=1,2时,an<0;当n≥3时,an>0,则数列{an}在n≥3时是递减数列,故{an}中最大项的值为a3=.
8. 设数列{an}的前n项和为Sn,若为常数,则称数列{an}为“精致数列”.已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“精致数列”,则数列{bn}的通项公式为________.
【解析】设等差数列{bn}的公差为d,由为常数,设=k且b1=1,得n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意正整数n,上式恒成立,所以解得d=2,k=,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).
【解答题】
9. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】(1)设{an}的公差为d,
由S9=-a5得a1+4d=0,
由a3=4得a1+2d=4,
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
10. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2a4=65,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在常数k,使得数列{}为等差数列?若存在,求出常数k;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设公差为d,因为{an}为等差数列,
所以a1+a5=a2+a4=18,又a2a4=65,所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个实数根,又公差d>0,所以a2<a4,所以a2=5,a4=13.
所以所以所以an=4n-3.
(2)存在.由(1)知,Sn=n+×4=2n2-n,
假设存在常数k,使数列{}为等差数列.
由+=2,
得+=2,解得k=1.
所以==n,
当n≥2时,n-(n-1)=,为常数,
所以数列{}为等差数列.
故存在常数k=1,使得数列{}为等差数列.
11. 等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Tn为数列{bn}前n项的和,其中bn=|an|,n∈N*,若Tn≥1 464,求n的最小值.
【解析】(1)∵等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,
∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,
∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的两个根,且a3>a5,
解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,
∴解得a1=5,d=-3.
∴an=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn=5n+×(-3)=-n2+n.
∵bn=|an|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,
当n≥3时,bn=|an|=3n-8.
当n<3时,T1=5,T2=7;
当n≥3时,Tn=-Sn+2S2=-+14.
∵Tn≥1 464,∴Tn=-+14≥1 464,
即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥,
∴n的最小值为34.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑

资源列表