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第六单元第1讲 数列的概念与表示
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：由an与Sn的关系求an
题型二：由数列的递推关系式求通项公式（累加）
题型三：由数列的递推关系式求通项公式（累乘）
题型四：数列的性质（单调性、周期性、最值）
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
【讲方法】
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
3.形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
4.形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
5.解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
6.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
7.求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
二、【练】
【练题型】
【题型一】由an与Sn的关系求an
【典例1】设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27　　　　　　　　　　　 B．81
C．93 D．243
【典例2】已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
【典例3】设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝________，{an}的通项公式为________．
【题型二】由数列的递推关系式求通项公式（累加）
【典例1】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【典例2】在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
【典例3】已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝________.
【题型三】由数列的递推关系式求通项公式（累乘）
【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
【典例3】若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，则an＝________.
【题型四】数列的性质（单调性、周期性、最值）
【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 023等于(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D.
【典例3】已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·n，则数列{an}的最大项为(　　)
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
【练真题】
【真题1】(2023·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝(n∈N*).则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝3n B.an＝3n
C.an＝n＋4 D.an＝n2＋2
【真题2】(2023·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)
A． B．2
C． D．
【真题3】(2023·黑龙江大庆一中模拟)数列{an}的前n项和Sn满足a2＝2，Sn＝n2＋An，则A＝________，数列的前n项和Tn＝________．
【真题4】(2023·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝________．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝(　　)
A．29　　　　　　　　　　　 B．33
C．34 D．28
2. 已知数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3. 在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4. 已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
【多选题】
5. 已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)
A．a3＝－1 B．a2 019＝
C．S3＝ D．S2 019＝
6. 在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}中的最大项可以是(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
【填空题】
7. 若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
【解答题】
9. 已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
10. 已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
11. 求下列数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
【测能力】
【单选题】
1. 已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝13，则取最小值时，n＝(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2. 已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,3) D．(2,3)
3. 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)
A．256 B．510 C．512 D．1 024
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
【多选题】
5. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A.an＝3n B.an＝n2＋1
C.an＝ D.an＝ln
6. 对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是(　　)
A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列
B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值
C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值
D．若an＝1－n，则其“倒差数列”有最大值
【填空题】
7. 已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．
8. 已知数列{an}中，a1＝1，－＝n＋1，则其前n项和Sn＝________.
【解答题】
9. Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝－5an，求数列{bn}中最小的项．
10. 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
11. 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
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第六单元第1讲 数列的概念与表示
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：由an与Sn的关系求an
题型二：由数列的递推关系式求通项公式（累加）
题型三：由数列的递推关系式求通项公式（累乘）
题型四：数列的性质（单调性、周期性、最值）
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
【讲方法】
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
3.形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
4.形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
5.解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
6.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
7.求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
二、【练】
【练题型】
【题型一】由an与Sn的关系求an
【典例1】设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27　　　　　　　　　　　 B．81
C．93 D．243
【解析】根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
故选B.
【典例2】已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
【解析】当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
所以an＝(n≥2)．
显然当n＝1时不满足上式，
所以an＝
【典例3】设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝________，{an}的通项公式为________．
【解析】数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
所以(2n－1)an＝2，所以an＝.
当n＝1时，a1＝2，上式也成立．
所以an＝.
【题型二】由数列的递推关系式求通项公式（累加）
【典例1】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【解析】因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
故选A.
【典例2】在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
【解析】∵an＋1－an＝＝－，
∴当n≥2时，an－an－1＝－，
an－1－an－2＝－，
……
a2－a1＝1－，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－，
∴an＝4－，a1＝3适合上式，∴an＝4－.
【典例3】已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝________.
【解析】由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上式子累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.
因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)
＝2＋＝(n≥2).
因为a1＝2满足上式，所以an＝.
【题型三】由数列的递推关系式求通项公式（累乘）
【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
【解析】∵3Sn＝(n＋2)an，①
3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②
由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝···…··a1＝×××…××1＝.
当n＝1时，满足an＝，∴an＝.
【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
【解析】∵＝2n，∴当n≥2时，＝2n－1，＝2n－2，
……
＝22，＝2，
∴an＝··…···a1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
，
又a1＝2满足上式，
∴an＝.
【典例3】若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，则an＝________.
【解析】由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，
得＝(n≥2)．
所以an＝···…···a1＝×××…×××1＝，
又a1＝1满足上式，所以an＝.
【题型四】数列的性质（单调性、周期性、最值）
【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若数列{an}为递增数列，
则有an＋1－an>0，
∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn
＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有λ∵由λ<1可推得λ<，
但反过来，由λ<不能得到λ<1，
因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．
故选A.
【典例2】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 023等于(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D.
【解析】∵数列{an}满足a1＝2，
an＋1＝(n∈N*)，
∴a2＝＝－1，
a3＝＝，
a4＝＝2，…，
可知此数列有周期性，周期T＝3，
即an＋3＝an，则a2 023＝a1＝2.
故选C.
【典例3】已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·n，则数列{an}的最大项为(　　)
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
【解析】结合f(x)＝(x＋1)x的单调性，
设数列{an}的最大项为an，
所以
所以
解不等式组可得9≤n≤10.
所以数列{an}的最大项为a9或a10.
故选B.
【练真题】
【真题1】(2023·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝(n∈N*).则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝3n B.an＝3n
C.an＝n＋4 D.an＝n2＋2
【解析】当n＝1时，S1＝a1；
当n≥2时，由Sn＝可得
Sn－1＝，上述两式作差得
an＝，整理可得(n－1)an＝nan－1，∴＝.
由累乘法可得an＝a2···…·＝6×××…×＝3n.
因此，an＝3n(n∈N*).
故选A.
【真题2】(2023·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)
A． B．2
C． D．
【解析】由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，
则＝＝－，
则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝.
故选C．
【真题3】(2023·黑龙江大庆一中模拟)数列{an}的前n项和Sn满足a2＝2，Sn＝n2＋An，则A＝________，数列的前n项和Tn＝________．
【解析】因为a2＝S2－S1＝(2＋2A)－＝2，所以A＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1满足上式，所以an＝n.
所以＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：：　
【真题4】(2023·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝________．
【解析】由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，
所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n.
答案：n
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝(　　)
A．29　　　　　　　　　　　 B．33
C．34 D．28
【解析】因为6－3＝3＝1×3，12－6＝6＝2×3，21－12＝9＝3×3，所以根据规律可得x－21＝4×3，所以x＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.
故选B.
2. 已知数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】因为数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.
故选A.
3. 在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】“|an＋1|>an” an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列 |an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选B.
4. 已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
【解析】因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an＞0，所以t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3.
故选C.
【多选题】
5. 已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)
A．a3＝－1 B．a2 019＝
C．S3＝ D．S2 019＝
【解析】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S3＝，S2 019＝.
故选ACD.
6. 在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}中的最大项可以是(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
【解析】假设an最大，则有
即
所以即6≤n≤7，所以最大项为第6项或第7项．
故选AB.
【填空题】
7. 若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝
8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
【解析】 n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，
n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，
只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，
所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．
【解答题】
9. 已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
【解析】(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*).
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜.
令cn＝，即＝·＝＞1.
∴{cn}为递增数列，∴λ＜c1＝2，
即λ的取值范围为(－∞，2).
10. 已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3，
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，有
an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1，
于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，
an＝an－1，
将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝.
当n＝1时，a1＝1满足an＝.
综上可知，{an}的通项公式为an＝.
11. 求下列数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
【解析】(1)由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1
＝＝，
当n＝1时，a1＝1＝，满足上式，
∴an＝(n∈N*)．
(2)由an＋1＝2nan得＝2n，
当n≥2时，an＝a1××××…×
＝1×2×22×23×…×2n－1
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
当n＝1时，a1＝1满足上式，
∴an＝(n∈N*)．
【测能力】
【单选题】
1. 已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝13，则取最小值时，n＝(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】由an＋1－an＝2n得，
当n＝1时，a2－a1＝2×1，
当n＝2时，a3－a2＝2×2，
…，
第n－1项，an－an－1＝2(n－1)，
累加可得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
∴an＝n2－n＋13，
∴＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝时取等号，又n∈N*，
∴当n＝3时，＝；
当n＝4时，＝，所以n＝4时，取得最小值.
故选B.
2. 已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,3) D．(2,3)
【解析】若{an}是递增数列，则
即
解得2即实数a的取值范围是(2,3)．
故选D.
3. 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)
A．256 B．510 C．512 D．1 024
【解析】在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.
故选C.
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
【解析】在4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an中，
令n＝1，得8(a1＋1)＝9a1，所以a1＝8，
因为4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，①
所以4n·(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)，②
①－②得，4an＝an－an－1，
即an＝an－1，an＝an－1，
所以an＝××…××a1
＝××…××8
＝(n＋1)3(n≥2)，
又a1＝8也满足此式，所以数列{an}的通项公式为(n＋1)3.
故选D.
【多选题】
5. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A.an＝3n B.an＝n2＋1
C.an＝ D.an＝ln
【解析】对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；
对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；
对于D，若an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln＝ln，
由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故D正确.
故选CD.
6. 对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是(　　)
A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列
B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值
C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值
D．若an＝1－n，则其“倒差数列”有最大值
【解析】若数列{an}是单增数列，则bn－bn－1＝an－－an－1＋＝(an－an－1)，
虽然有an>an－1，
但当1＋<0时，bn因此{bn}不一定是单增数列，A正确；
an＝3n－1，则bn＝3n－1－，易知{bn}是递增数列，无最大值，B错误；C正确，最小值为b1.
若an＝1－n，
则bn＝1－n－，
∵函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，
∴当n为偶数时，an＝1－n∈(0,1)，
∴bn＝an－<0，
当n为奇数时，an＝1＋n>1，显然an是单调递减的，
因此bn＝an－也是单调递减的，
即b1>b3>b5>…，
∴{bn}的奇数项中有最大值为b1＝－＝>0，
∴b1＝是数列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正确．
故选ACD.
【填空题】
7. 已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．
【解析】an＝，当n≤5时，an>1；
当n≥6时，an<1，
由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
8. 已知数列{an}中，a1＝1，－＝n＋1，则其前n项和Sn＝________.
【解析】∵－＝2，－＝3，
－＝4，…，－＝n，
累加得－＝2＋3＋4＋…＋n，
得＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，
∴an＝＝2，
∴Sn＝2＝.
【解答题】
9. Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝－5an，求数列{bn}中最小的项．
【解析】(1)对任意的n∈N*，由an－Sn＝n－n2，得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，
两式相减得an＝n，因此数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)得bn＝2n－5n，
则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.
当n≤2时，bn＋1－bn<0，
即bn＋1b2>b3；
当n≥3时，bn＋1－bn>0，
即bn＋1>bn，∴b3所以数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.
10. 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
【解析】(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
所以，当n≥2时，
an＋1≥an 12＋a－3≥0 a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
11. 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
【解析】(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*).
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10故a的取值范围是(－10，－8).
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