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11.3 多边形及其内角和
11.3.3 多边形的外角和
【知识重点】
1.定理 多边形的外角和等于360° .
多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180° ＝360° .
特别解读
1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.
2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
2.常见应用
(1)已知外角度数求正多边形的边数；
(2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为.
【经典例题】
【例1】根据下列条件解决问题：
(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；
(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.
解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.
【同步练习】
一、选择题
1．【2020·北京】正五边形的外角和为(　　)
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
3．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为(　　)
A．540° B．720° C．900° D．1 080°
4．【2020·西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
5．【2020·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为(　　)
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
第5题图　 第8题图
6．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为(　　)
A．1∶3 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶1
7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(　　)
A.α－β＝0 B.α－β＜0 C.α－β＞0 D.无法比较α与β的大小
9．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是(　　)
二、填空题
10．多边形的外角和等于　 　.
11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝______.
12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.
13．一个六边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是　 　　 　　 　　 　.
三、解答题
14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍．求这个多边形的边数．
15．一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
16．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9∶2，求这个多边形的边数．
17．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
(1)求此多边形的边数；
(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？
18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等．求代数式h·(m－k)n的值．
19．【2021·交大附中期末】(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
(2)请你用文字描述上述关系；
(3)用你发现的结论解决下面的问题：
如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
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参考答案
【经典例题】
【例1】根据下列条件解决问题：
(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；
(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.
解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.
(1)解：设该多边形的边数为n.
根据多边形的外角和为360°，得n×72°＝360°，
解得n＝5．
∴该多边形的边数为5.
(2)解：∵多边形的外角和为360°，
∴ 360°÷30°=12.
故这个正多边形的边数为12.
【同步练习】
一、选择题
1．【2020·北京】正五边形的外角和为(　B　)
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是(　B　)
A．3 B．6 C．9 D．12
3．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为(　D　)
A．540° B．720° C．900° D．1 080°
4．【2020·西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　C　)
A．8 B．9 C．10 D．11
5．【2020·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为(　C　)
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
第5题图　 第8题图
6．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为(　D　)
A．1∶3 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶1
7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　C　)
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(　A　)
A.α－β＝0 B.α－β＜0 C.α－β＞0 D.无法比较α与β的大小
9．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是(　B　)
【解析】由新多边形的内角和是其外角和的2倍，可得新多边形内角和为360°×2＝720°，进而得到新多边形的边数为6.对照各选项进行判断即可.
二、填空题
10．多边形的外角和等于　 　.
【答案】360°
11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝______.
【答案】10
12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.
【答案】300°
13．一个六边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是　 　　 　　 　　 　.
【答案】540°或720°或900°　
三、解答题
14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍．求这个多边形的边数．
解：设多边形的边数为n，(n－2)·180°＝360°×2，∴n＝6.
15．一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的每个内角是 x°，相邻外角是 y°，
则得到一个方程组解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是三条．
16．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9∶2，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形一个内角的度数为9x，则一个外角的度数为2x，根据题意，得
9x＋2x＝180°，解得x＝.
360°÷＝11，
所以这个多边形的边数为11.
17．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
(1)求此多边形的边数；
解：设此多边形的边数为n，这个外角为x度，
则0＜x＜180，
根据题意得(n－2)·180＋x＝1 350，∴n＝9＋.
∵n为正整数，且0＜x＜180，
∴90－x＝0，∴x＝90，则n＝9.即此多边形的边数为9.
(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？
解：由(1)知此多边形确定的内角的度数为180°－90°＝90°.
18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等．求代数式h·(m－k)n的值．
解：∵m边形从一个顶点出发的对角线有(m－3)条，∴m＝7＋3＝10.∵n边形没有对角线，∴n＝3.
∵k边形有k条对角线，∴(k－3)＝k，得k＝5.∵正h边形的内角和与外角和相等，∴h＝4.
∴h·(m－k)n＝4×(10－5)3＝500.　
19．【2021·交大附中期末】(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
解：设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.
∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠5＋∠2＋∠6＝360°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
(2)请你用文字描述上述关系；
解：在一个四边形中，两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(3)用你发现的结论解决下面的问题：
如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
解：∵∠B＋∠C＝240°，
∴由(2)知∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.

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